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12.3垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三能利用垂径定理解决实际问题例3教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水2冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约为10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①a22＋d2＝r2；②h＋d＝r.2．垂径定理在应用中常作的辅助线：作垂线，连半径，构造直角三角形．3．垂径定理在应用中常用的技巧：设未知数，根据勾股定理列方程．知识点垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．[点拨](1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，求BE的长．解：如图2－3－5，连接OC，则OC＝5.图2－3－5∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝12CD＝4.在Rt△OCE中，OE＝OC2－CE2＝3，∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．4教师详解详析【目标突破】例1解：①②能，③④不能．理由略．例2[解析]如图，过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD之间的距离．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中，∵OA＝17cm，AE＝BE＝12AB＝15cm，∴OE＝172－152＝8(cm)．同理可求OF＝172－82＝15(cm)．∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)．即AB和CD之间的距离是7cm.例3[答案]25[解析]根据垂径定理，得AD＝12AB＝20米．在Rt△AOD中，根据勾股定理，得R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25(米)．【总结反思】[小结]知识点弦弦所对的两条弧[反思]不完整．补充：若垂足E在线段OA上，则BE＝OB＋OE＝5＋3＝8；若垂足E在线段OB上，则BE＝OB－OE＝5－3＝2.综上所述，BE的长为8或2.其长度保持不变．