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12.4过不共线三点作圆知|识|目|标1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一过平面内的点作圆例1教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是()图2－4－1A．1B．2C．3D．4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．目标二理解三角形的外接圆例2教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．图2－4－2【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．例3教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是()图2－4－32A．第①块B.第②块C.第③块D.第④块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径．已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．知识点一过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆．[点拨](1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．知识点二三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．[说明](1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC外接圆的半径为5，求AB的长．图2－4－4解：如图2－4－4，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，则AD垂直平分BC，∴BD＝12BC＝4.在Rt△OBD中，OD＝OB2－BD2＝52－42＝3，∴AD＝AO＋OD＝5＋3＝8.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝82＋42＝45.以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．3教师详解详析【目标突破】例1C例2解：(1)如图所示．(2)如图，在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝12∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.例3A备选目标三角形的外接圆、外心的综合应用例如图①，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．(1)若AB＝6，AC＝4，AD＝3，求⊙O的直径AE；(2)若AB＋AC＝10，AD＝4，求⊙O的直径AE的最大值，并指出此时边AB的长．[解析](1)需要找到AB，AC，AD，AE之间的数量关系，连接BE，则∠ABE＝90°＝∠ADC，∠E＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE∽△ADC，可得AB∶AD＝AE∶AC，进而求出AE即可；(2)根据已知得出AC＝10－AB的长，利用(1)的结论，将AE转化为关于AB的二次函数，最值可求．解：(1)如图②，连接BE.∵AE是⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE＝90°＝∠ADC.又∵∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝AEAC，∴AE＝AC·ABAD＝4×63＝8.(2)∵AB＋AC＝10，∴AC＝10－AB.设AB＝x，AE＝y，∵AD＝4，由(1)中ABAD＝AEAC，4得y＝x（10－x）4＝－x24＋52x＝－14(x－5)2＋254，∴⊙O的直径AE的最大值为254，此时边AB的长为5.[归纳总结]解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．【总结反思】[小结]知识点二三条边的垂直平分线[反思]不完整．补充：若△ABC是锐角三角形，则AB＝45；若△ABC是钝角三角形，如图所示，连接OA，OB，OA交BC于点D.此时AD＝OA－OD＝5－3＝2.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝22＋42＝25.∴AB的长为25或45.