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12.5.2圆的切线第1课时切线的判定知|识|目|标1．通过回顾圆的切线的概念和直线与圆的位置关系，理解切线的判定定理．2．通过切线的判定定理，掌握圆的切线的作法．目标一理解切线的判定定理(1)直线与圆有公共点时证明直线是圆的切线例1教材例2针对训练已知：如图2－5－4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．图2－5－4【归纳总结】判定圆的切线的三种方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)直线与圆位置关系不明时证明圆的切线例2教材补充例题已知：如图2－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．图2－5－5【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择：(1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可，可记为：有交点，作半径，证垂直；(2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可记为：无交点，作垂线，证半径．2目标二掌握圆的切线的作法例3教材补充例题阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．图2－5－6已知：如图2－5－6，⊙O及⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．小涵的主要作法如下：如图2－5－7，(1)连接OP，作线段OP的中点A；(2)以点A为圆心，图2－5－7OA的长为半径作圆，交⊙O于点B，C；(3)作直线PB和PC.所以PB和PC就是所求作的切线.老师说：“小涵的作法是正确的．”请回答：小涵的作图依据是________________________________________．【归纳总结】圆的切线的作法：(1)过圆外一点作圆的切线的方法：①连接圆外的点与圆心；②以连接得到的线段长为直径作圆，与已知圆交于两点；③连接圆外的点与交点，即得到过圆外一点所作的已知圆的两条切线．(2)圆的切线的作法是以圆的切线的判定定理为依据，将作切线转化为作垂线来实现，所作的直线必须满足两个基本特征：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．知识点一切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的______并且________________的直线是圆的切线．[注意](1)圆的切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．二者缺一不可．(2)“垂直于这条半径”不要省去了“这条”两个字，如图2－5－8，直线l过半径OA的外端，垂直于半径OB，但直线l不是⊙O的切线．3图2－5－8(3)切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切线的判定定理．知识点二过圆上一点作圆的切线步骤：(1)根据题意在圆周上取一点A；(2)连接圆心O与点A；(3)过点A作一条直线垂直于OA，则这条直线就是所求作的圆的切线．如图2－5－9，OP是∠AOB的平分线，以点P为圆心的⊙P与OA相切于点C.求证：⊙P与OB相切．图2－5－9证明：如图2－5－10，设⊙P与OB的公共点为D，连接PC，PD.图2－5－10∵OA与⊙P相切于点C，∴PC⊥OA.又OP平分∠AOB，∴∠COP＝∠DOP.在△COP与△DOP中，∠PCO＝∠PDO，∠COP＝∠DOP，OP＝OP，∴△COP≌△DOP，∴PC＝PD，∴⊙P与OB相切．上述证明过程有无错误？若有错误，请指出错误的原因，并改正．4教师详解详析【目标突破】例1[解析]若要证DE是⊙O的切线，只需DE满足两个条件：①DE过半径的外端点；②DE垂直于这条半径．所以只需连接OD，则满足条件①，故只需证明DE⊥OD即可，而DE⊥AC，则只需证OD∥AC.证明：如图，连接OD，则∠OBD＝∠ODB.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.又∵DE过半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线．例2[解析]要证AC是⊙O的切线，题目没有点明AC与⊙O的交点，即没有点明切点，因此，过点O作AC的垂线，垂足为E；而⊙O与AB相切于点D，所以⊙O的半径即是OD，只要证明OE＝OD问题即得解．证明：如图，连接OA，过点O作OE⊥AC，垂足为E.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，∴OE＝OD，∴AC与⊙O相切．例3直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【总结反思】[小结]知识点一外端垂直于这条半径[反思]有错误，错误原因有两个：①条件中没有给出“⊙P与OB有公共点”；②∠PCO＝∠PDO缺乏依据．正确解答：连接PC，过点P作PD⊥OB于点D.∵OA与⊙P相切于点C，∴PC⊥OA.又OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∴⊙P与OB相切．