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12.7正多边形与圆知|识|目|标1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．目标一理解正多边形的有关概念例1教材补充例题下列说法正确的是()A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形【归纳总结】正多边形及其有关概念：(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．目标二会画正多边形例2教材补充例题已知⊙O和⊙O上的一点A，如图2－7－1所示．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题所作的图中，如果点E在劣弧AB上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边．图2－7－1【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：(1)只用量角器：用量角器把360°圆心角n等分，相应圆周也n等分，顺次连接各分点得到正n边形．(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的n分之一，从而得到圆周的n分之一，再用圆规顺次截取，便得圆周的n等分点，顺次连接各分点得到正n边形．(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．2目标三能进行正多边形的有关计算例3教材补充例题如图2－7－2，G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且AG＝5，BG＝CH，AG交BH于点P.(1)求BH的长；(2)求∠APH的度数．图2－7－2【归纳总结】正n边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：(1)与正n边形有关的角：①中心角：每个中心角的度数为360°n；②内角：每个内角的度数为（n－2）·180°n；③外角：每个外角的度数为360°n.(2)正多边形的半径R、边心距r、边长a间的关系：a22＋r2＝R2.(3)正n边形的周长l与边长a，面积S与边长a、边心距r间的关系：周长l＝na；面积S＝12arn.知识点一正多边形的有关概念正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．3知识点二正多边形的画法基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．常用方法：(1)用量角器等分；(2)用圆规等分．知识点三正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的______．当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当n为偶数时，正n边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂直的直线．正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．判断：正多边形都是中心对称图形．()答案：√以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．4教师详解详析【目标突破】例1[解析]C通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项A，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项B，D.例2[解析](1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)通过计算EB所对的圆心角的度数来证明．解：(1)在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边形AEFCGH.(2)证明：连接OE.∵AE是正六边形的一边，∴∠AOE＝360°6＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝360°4＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°.设EB是⊙O内接正n边形的一边，则360°n＝30°，解得n＝12，∴EB是⊙O内接正十二边形的一边．例3解：(1)在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°.在△ABG与△BCH中，∵AB＝BC，∠ABC＝∠C，BG＝CH，∴△ABG≌△BCH，∴BH＝AG＝5.(2)由(1)知△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠CBH，∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120°.【总结反思】[小结]知识点三n中心n2n2[反思]不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．