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13.2直棱柱、圆锥的侧面展开图知|识|目|标1．通过观察与动手操作，理解直棱柱的概念，能画出直棱柱的侧面展开图并能计算其侧面积．2．通过展开、观察，理解圆锥的概念及侧面积的构成，并能根据圆锥的侧面展开图计算侧面积.目标一能画(求)出直棱柱的侧面展开图例1教材补充例题有一种月饼包装盒如图3－2－1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．(1)图3－2－2给出了的三种纸样，它们都正确吗？(2)从已知正确的纸样中选出一种，标上尺寸；(3)利用你所选的纸样，求出包装盒的侧面积和表面积．图3－2－1图3－2－2【归纳总结】判断直棱柱的侧面、表面展开图的方法：(1)判断一个直棱柱是几棱柱，应该从平行的两底面多边形的边数上作出判断；(2)判断平面图形是不是某立体图形的表面展开图，需要分别从底面与侧面两个方面进行分析；(3)动手操作是解决此类问题的一般方法．目标二能计算圆锥的侧面积及表面积例2教材例2针对训练如图3－2－3所示，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm.求：(1)这个圆锥的侧面积；(2)这个圆锥的表面积．图3－2－3【归纳总结】圆锥及其侧面展开图的有关计算：(1)圆锥的母线长、高、底面半径构成直角三角形；(2)圆锥的底面周长就是其侧面展开图(扇形)的弧长；2(3)圆锥的母线长是侧面展开图(扇形)的半径．温馨提示：这三组关系是解决圆锥有关计算的基础，也是容易出错的地方．例3教材补充例题要在如图3－2－4所示的一个机器零件(尺寸如图3－2－5，单位：mm)的表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．(参考公式：S圆柱侧＝2πrh，S圆锥侧＝πrl，S圆＝πr2，其中r为底面圆的半径，h为高，l为母线长，π取3.14)图3－2－4图3－2－5【归纳总结】求圆锥侧面积的“三个公式”：(1)已知圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角n°和半径R，求圆锥的侧面积用S侧＝nπR2360；(2)已知圆锥侧面展开图(扇形)的弧长l和半径R，求圆锥的侧面积用S侧＝12lR；(3)已知圆锥底面圆半径r和母线长l，求圆锥的侧面积用S侧＝πrl.知识点一直棱柱及其展开图1．特征：(1)有两个面互相平行，称它们为底面；(2)其余各个面均为矩形，称它们为侧面；(3)侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面．2．分类：根据底面图形的边数，可以分为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱……底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱．3．常见棱柱的展开图．名称几何体侧面展开图常见表面展开图正方体等长方体等3三棱柱等知识点二圆锥的侧面展开图及侧面积的计算圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，也可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形．连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的____，圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的______．圆锥的侧面展开图是一个________，圆锥的母线长是扇形的______，圆锥底面圆的周长是扇形的______．[点拨]1.圆锥的侧面积＝侧面展开图(扇形)的面积．2．圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则：①S侧＝πrl；②表面积＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，求圆锥的侧面积S.解：设圆锥底面圆的半径为rcm，则πr2＝15，∴r2＝15π.∵圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为180°，∴S＝180πr2360＝12π×15π＝7.5(cm2)．上述解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．45教师详解详析【目标突破】例1解：(1)甲、乙正确，丙不正确．(2)若选甲，如图所示(选乙的情况略)．(3)S侧＝(b＋a＋b＋a)h＝2ah＋2bh，S表＝2ah＋2bh＋2ab.例2[解析](1)应先利用勾股定理求得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解；(2)圆锥的表面积＝圆锥的侧面积＋圆锥的底面积＝圆锥的侧面积＋π×底面半径2，把相关数值代入即可求解．解：(1)∵圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，∴圆锥的母线长为10cm，∴S侧＝π×6×10＝60π(cm2)．(2)∵圆锥底面圆的面积＝π×62＝36π(cm2)，∴S表＝60π＋36π＝96π(cm2)．例3[解析]理解图上零件的表面积是由哪几部分组成的，各部分的展开图又是什么图形．解：由图可知，r＝80÷2＝40(mm)，圆柱的高h＝100mm，圆锥的高为30mm，l＝302＋402＝50(mm)．S表面积＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝πrl＋2πrh＋πr2＝π×40×50＋2π×40×100＋π×402＝2000π＋8000π＋1600π＝11600π(mm2)≈36424(mm2)．所以这个零件的表面积约为36424mm2.[备选例题]如图①所示，有一圆锥形粮堆，从前面看是边长为6m的等边三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？①②[解析]这是圆锥侧面最短距离问题，先将侧面展开，如图②，再根据两点之间线段最短的原理，确定最短路线应是线段BP，本题可通过解直角三角形ABP求出BP的长．解：如图①，∵△ABC为等边三角形，边长为6m，∴圆锥底面圆的周长为2π×3＝6π(m)，6∴图②中扇形的圆心角为180×6ππ×6＝180°，∴∠BAP＝90°.∵P是AC的中点，∴AP＝3m，∴BP＝AB2＋AP2＝62＋32＝35(m)．答：小猫所经过的最短路程是35m.[归纳总结](1)善于把生活中的近似圆锥的图形建立成圆锥模型(如北方的粮垛、南方的斗笠、建筑用的铅锤、蒙古包等)．(2)计算实际问题中圆锥形物体的表面积时，要分清是否有底面，没有底面的侧面积就是表面积．(3)有关圆锥侧面的最短路程问题，要注意将其表面展开后，根据两点之间线段最短的原则，先确定最短路线，再求其长度的最小值．【总结反思】[小结]知识点二高母线扇形半径弧长[反思]不正确．错把圆锥底面圆的半径当成其侧面展开图(扇形)的半径了．正解：设圆锥底面圆的半径为rcm，侧面展开图(扇形)的半径为Rcm，则πr2＝15，解得r＝15π(负值已舍去)．∵2πr＝πR，∴R＝2r＝215π，∴S＝πrR＝π×15π×215π＝30(cm2)．