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1课时作业(一)[第一章1第1课时正切]一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2AC，则∠A的正切值是()A.55B.12C.255D．22．为测量山坡的倾斜度，小明测得数据如图K－1－1所示(单位：米)，则该山坡的倾斜角α的正切值是()图K－1－1A.14B．4C.117D.4173.如图K－1－2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为()图K－1－2A.45B.35C.34D.434．如图K－1－3，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是()A．1B．1.5C．2D．3图K－1－35.2017·河北模拟如图K－1－4，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为链接听课例1归纳总结()图K－1－42A.12B.55C.53D.2556．如图K－1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝34，则AC的长是()图K－1－5A．3B．4C．6D．87．2017·湘潭期末如图K－1－6，已知山坡AB的坡度为1∶2，坡高BC＝1，则坡长AB为()图K－1－6A.3B.5C．2D．48．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图K－1－7中所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是链接听课例1归纳总结()图K－1－7A.247B.73C.724D.139．如图K－1－8，斜坡AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝35米，坡顶上有一旗杆BC，旗杆顶端点B与点A之间有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为()图K－1－8A．5米B．6米C．8米D．(3＋5)米二、填空题10．如图K－1－9为甲、乙两个自动扶梯，______自动扶梯比较陡．(填“甲”或“乙”)3图K－1－9图K－1－1011．如图K－1－10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，则AC的长度是________cm.链接听课例2归纳总结三、解答题12．如图K－1－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求tan∠BCD的值.链接听课例1归纳总结图K－1－1113．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，周长为30，求△ABC的面积．414．如图K－1－12是某广场台阶(结合轮椅专用坡道)景观设计的模型第一层的截面示意图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC.《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合下表中的规定：坡度1∶201∶161∶12最大高度(米)1.501.000.75(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？请说明理由；(2)求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD.链接听课例2归纳总结图K－1－121．2018·眉山如图K－1－13，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．图K－1－132．探究题数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝13，tanβ＝12，求α＋β的度数．甲、乙两名同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图K－1－14①和②.(1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝23时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，并求出α－β的度数．图K－1－145详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]D设AC＝x，则BC＝2x，∵∠C＝90°，∴tanA＝BCAC＝2xx＝2.故选D.2．[解析]Atanα＝520＝14.3．[解析]C∵CD是斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝102－62＝8，∴tanB＝ACBC＝68＝34.故选C.4．[解析]C过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(t，3)在第一象限，∴AB＝3，OB＝t.又∵tanα＝ABOB＝32，∴t＝2.5．[答案]A6．[解析]D因为tanA＝34＝BCAC，所以设BC＝3x，AC＝4x(x0)．由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即(3x)2＋(4x)2＝100，解得x＝2，所以AC＝4x＝4×2＝8.故选D.7．[解析]B∵山坡AB的坡度为i＝1∶2，坡高BC＝1，∴BCAC＝12，∴AC＝2.根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝22＋12＝5.故选B.8．[解析]C设CE＝x，根据折叠的性质，得BE＝AE＝8－x，在Rt△BCE中，根据勾股定理列出关于x的方程，得x2＋62＝(8－x)2，解得x＝74(负值已舍去)，即可计算出tan∠CBE＝724.9．[解析]A设CD＝x米，则AD＝2x米，由勾股定理可得AC＝x2＋（2x）2＝5x(米)．∵AC＝35，∴5x＝35，解得x＝3，∴CD＝3米，AD＝2×3＝6(米)．在Rt△ABD中，BD＝102－62＝8(米)，∴BC＝8－3＝5(米)．故选A.10．[答案]乙11．[答案]210[解析]如图，过点B作BD⊥AC于点D，依题意可求得AD＝60cm，BD＝54cm.由斜坡BC的坡度i＝1∶5可求得CD＝270cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．612．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝52－32＝4.又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tanA＝BCAC＝34.13．[解析]画出示意图如图所示，因为S△ABC＝12ab，所以只需求出a，b的值即可．解：∵tanA＝ab＝512，可设a＝5k(k0)，则b＝12k，∴c＝a2＋b2＝（5k）2＋（12k）2＝13k.∵△ABC的周长为30，即a＋b＋c＝30，∴5k＋12k＋13k＝30，解得k＝1，∴a＝5k＝5，b＝12k＝12，∴S△ABC＝12ab＝12×5×12＝30，即△ABC的面积为30.[点评]当题目中出现三角函数值时，一般要先利用直角三角形把三角函数值转化为线段的比值．14．解：(1)符合要求的坡度是1∶20.理由如下：过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵每级台阶的高为0.15米，∴CF＝0.15×10＝1.5(米)．∵坡道高度为1.5米，∴应选择坡度1∶20建设轮椅专用坡道AB.(2)过点B作BE⊥AD，垂足为E.根据题意可得EF＝BC＝2米，BE＝CF＝1.5米，∵每级台阶的宽为0.4米，∴DF＝0.4×9＝3.6(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝90°.7∵AB的坡度是1∶20，∴BEAE＝120.∵BE＝1.5米，∴AE＝30米，∴AD＝AE＋EF＋DF＝30＋2＋3.6＝35.6(米)．答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为35.6米．[素养提升]1．[答案]2[解析]如图，连接BE.∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝12CK，BF＝12BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF.根据题意得AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3，∴KO∶KF＝1∶2，∴KO＝OF＝12CF＝12BF.在Rt△OBF中，tan∠BOF＝BFOF＝2.∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2.故答案为2.2．解：(1)如图①，在△AMC和△CNB中，AM＝CN，∠AMC＝∠CNB＝90°，MC＝NB，∴△AMC≌△CNB，∴AC＝BC，∠ACM＝∠CBN.∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴α＋β＝45°.如图②，设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝2，∴CEBE＝12＝22，BEAE＝22，∴CEBE＝BEAE.8又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠EAB＝α，∴∠BED＝∠ECB＋∠CBE＝α＋β.∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.