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1课时作业(六)[第一章5三角函数的应用]一、选择题1．如图K－6－1，为测量某物体AB的高度，在点D处测得点A的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为()链接听课例1归纳总结图K－6－1A．103米B．10米C．203米D.2033米2．2017·泰安期中如图K－6－2，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()链接听课例2归纳总结图K－6－2A．22kmB．23kmC．4kmD．(3＋1)km3．如图K－6－3所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm、宽30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，若将坡角∠BCA设计为30°，则AC的长度应为()图K－6－3A．603cmB．60(3－1)cmC．60cmD．60(3＋1)cm4．2017·迁安一模某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图K－6－4所示，点A是栏杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()2图K－6－4图K－6－5二、填空题5．2017·宁波如图K－6－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)图K－6－66．如图K－6－7，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达点B，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中距灯塔S的最近距离是________海里(结果不作近似计算).链接听课例1归纳总结图K－6－77．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图K－6－8，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为________米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．图K－6－88．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图K－6－9，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后他爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房AB的高约是45m，根据以上观测数据可求得观光3塔的高CD约是________m.图K－6－9三、解答题9．2018·菏泽2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图K－6－10，在直升机的镜头C下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为多少米？(结果保留根号)图K－6－1010．2018·内江如图K－6－11是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝34.求灯杆AB的长度.链接听课例2归纳总结图K－6－11阅读理解题阅读材料：4在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC.利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝6sin30°sin45°＝6×1222＝32.理解应用：如图K－6－12，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)连接A1B2，判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)求乙船每小时航行多少海里．图K－6－125详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]A∵在Rt△ADB中，∠D＝30°，∴ABBD＝tan30°，∴BD＝ABtan30°＝3AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴BC＝ABtan60°＝33AB.∵CD＝20米，∴CD＝BD－BC＝3AB－33AB＝20，解得AB＝103(米)．故选A.2．[解析]A如图，过点A作AD⊥OB于点D.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，∴AD＝12OA＝2km.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2km，∴AB＝2AD＝22km，∴该船航行的距离(即AB的长)为22km.故选A.3．[解析]B如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得AD＝2×30＝60(cm)，BD＝20×3＝60(cm)．∵坡角∠BCA＝30°，∴BD∶CD＝1∶3，∴CD＝3BD＝3×60＝603(cm)，∴AC＝CD－AD＝603－60＝60(3－1)cm.故选B.4．[解析]A如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于点H，6则∠EHG＝∠HEF＝90°.∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°.在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72(米)．∵AB＝1.2米，∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9(米)．故选A.5．[答案]280[解析]在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈500×0.56≈280(米)，∴这名滑雪运动员的高度下降了280米．故答案为280.6．[答案]637．[答案]58[解析]如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠CDB＝90°，∠EBD＝90°，∴四边形EBDC是矩形，∴BE＝CD＝10米．∵∠ECB＝11°48′，∴∠EBC＝78°12′，则tan78°12′＝ECBE＝EC10≈4.8，解得EC≈48(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝EC≈48米，∴此塑像的高AB为AE＋BE≈48＋10＝58(米)．故答案为58.8．[答案]135[解析]∵在点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°.在Rt△ABD中，tan30°＝ABAD，即45AD＝33，∴AD＝453m.∵在楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝453×3＝135(m)．故答案为135.9．解：∵EC∥AD，∴∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝200米．∵CD⊥AB于点D，∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝CDAD，7∴AD＝20033＝2003(米)．在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD－BD＝(2003－200)米．答：A，B两点间的距离为(2003－200)米．10．解：如图，过点B作BH⊥DE，垂足为H，过点A作AG⊥BH，垂足为G.∵BH⊥DE，∴∠BHD＝∠BHE＝90°.在Rt△BHD中，tanα＝BHDH＝6，在Rt△BHE中，tanβ＝BHEH＝34，∴BH＝6DH，BH＝34EH，∴8DH＝EH.∵DE＝18，DE＝DH＋EH，∴9DH＝18，∴DH＝2，则BH＝12.∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°，∴四边形ACHG为矩形，∴AC＝GH＝11，∠CAG＝90°，BG＝BH－GH＝12－11＝1.∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°，∴在Rt△AGB中，AB＝2BG＝2.答：灯杆AB的长度为2米．素养提升解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明如下：如图，∵甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2处，∴A1A2＝302×13＝102(海里)．又∵A2B2＝102海里，∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形．(2)过点B1作B1N∥A1A2，如图．∵B1N∥A1A2，8∴∠A1B1N＝75°，∴∠A1B1B2＝75°－15°＝60°.∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝102海里，∴∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°.在△B1A1B2中，∵A1B2＝102海里，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，且由阅读材料可知B1B2sin45°＝A1B2sin60°，即B1B222＝10232，解得B1B2＝102×2232＝2033(海里)．∴乙船每小时航行2033÷13＝203(海里)．