2018-2019学年九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高同步练习

1课时作业(七)[第一章6利用三角函数测高]一、选择题1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()链接听课例1归纳总结图K－7－1A.11－sinα米B.11＋sinα米C.11－cosα米D.11＋cosα米2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为链接听课例2归纳总结()图K－7－2A．503米B．51米C．(503＋1)米D．101米3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，3≈1.73)()图K－7－3A．125米B．105米C．85米D．65米4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他2们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20m，DE的长度为10m，则树AB的高度是()A．203mB．30mC．303mD．40m图K－7－45．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()图K－7－5A．20米B．103米C．153米D．56米二、填空题6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC＝18m，则树高AB约为________m．(结果精确到0.1m)图K－7－67．如图K－7－7(示意图)，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)链接听课例1归纳总结图K－7－78．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为18m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．3图K－7－8三、解答题9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K－7－9所示)，已知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－7－910．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．(结果均精确到0.01m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)链接听课例2归纳总结图K－7－1011．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场4的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(3取1.732，结果保留整数)．图K－7－11如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．图K－7－125详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案]A2．[解析]C设AG＝x米，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝AGEG，∴EG＝AG3＝33x米．在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝AGCG，∴CG＝xtan30°＝3x米，∴3x－33x＝100，解得x＝503，则AB＝(503＋1)米，故选C.3．[解析]B如图，延长FH交AC于点E.由题意知BG⊥AC，BH⊥FH，FE⊥AC，∴四边形BGEH是矩形，∴BH＝GE，BG＝HE.∵BG∶AG＝1∶2.4，∴设BG＝x米，AG＝2.4x米(x＞0)．在Rt△ABG中，∵AB＝52米，由勾股定理可得BG2＋AG2＝AB2，即x2＋(2.4x)2＝522，解得x＝20，则BG＝20米，AG＝48米．在Rt△BHF中，∵∠HBF＝77°，∴tan77°＝FHBH，∴FH＝BHtan77°.在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，∴EF＝3AE，∴3(48＋BH)＝20＋BHtan77°，解得BH≈24.25，∴FH＝BHtan77°≈105米．故选B.4．[解析]B先根据CD＝20m，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．5．[解析]A如图，延长CD交点A所在的水平线于点F，如图．由题意，知GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15米，∴AB＝2GE＝30米．∵AF＝BC＝ABtan∠ACB＝303＝103(米)，6DF＝AF·tan30°＝103×33＝10(米)，∴CD＝AB－DF＝30－10＝20(米)．6．[答案]12.67．[答案]40.0[解析]过点A作AE⊥CD于点E.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE是矩形，∴AE＝BD＝20m，DE＝AB＝0.8m.在Rt△ACE中，∠CAE＝63°，∴CE＝AE·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)，∴CD＝CE＋DE≈39.2＋0.8＝40.0(m)，即筒仓CD的高约为40.0m.8．[答案]123[解析]过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形．根据题意，得∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝18×tan60°＝183(m)．在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE＝18×tan30°＝63(m)，∴CD＝BE＝AB－AE＝183－63＝123(m)．9．[解析]如图，过点F作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，推出AH＝HF.设AH＝HF＝xm，则EF＝2xm，EH＝3xm，在Rt△AEB中，由∠E＝30°，AB＝5m，推出AE＝2AB＝10m，可得x＋3x＝10，解方程即可．解：如图，过点F作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF.设AH＝HF＝xm，则EF＝2xm，EH＝3xm.在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋3x＝10，解得x＝53－5，∴EF＝2x＝103－10≈7.3(m)．答：点E与点F之间的距离约为7.3m.10．解：(1)在Rt△ABE中，BE＝AB·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，AE＝ABcos31°＝31cos31°≈310.86≈36.05(m)，故甲楼的高度约为18.60m，彩旗的长度约为36.05m.(2)过点F作FM⊥GD，交GD于点M，在Rt△GMF中，GM＝FM·tan19°.在Rt△GDC中，GD＝CD·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为xm，则FM＝CD＝xm.根据题意，得xtan40°－xtan19°＝18.60，解得x＝37.20.乙楼的高度GD＝CDtan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，故乙楼的高度约为31.25m，甲、乙两楼之间的距离约为37.20m.711．解：设AH＝x米，在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)米．∵GF＝CD＝288米，∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)米．在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·33，解得x＝150(3＋1)．∴AB＝AH＋BH＝150(3＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)．答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．[素养提升][解析]本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A楼的高度，通过解直角三角形可得B楼的高度．解：(1)答案不唯一．如图，设AC表示A楼，BD表示B楼．测量步骤如下：①用测角器在A楼的顶端点A测量B楼楼底的俯角α；②用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A楼楼顶放下，测量点A到地面的高度为a.(2)在Rt△ACD中，CD＝atan∠ADC＝atanα.在Rt△AEB中，BE＝AE·tanβ.∵AE＝CD，∴BE＝atanβtanα，∴B楼的高度BD＝BE＋ED＝BE＋AC＝atanβtanα＋a＝a1＋tanβtanα.