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1课时作业(二十一)[第三章*3垂径定理]一、选择题1．如图K－21－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定成立的是()图K－21－1A．CM＝DMB.CB︵＝DB︵C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD2．如图K－21－2，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为E，若OE＝3，则AB的长是链接听课例1归纳总结()图K－21－2A．4B．6C．8D．103．绍兴是著名的桥乡，如图K－21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()链接听课例3归纳总结图K－21－3A．4mB．5mC．6mD．8m4．2018·临安区如图K－21－4，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA长为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为()图K－21－42A．63B．62C．33D．325．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为2分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()图K－21－5A.2πB.π9C.12πD．2π6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()图K－21－6A.95B.215C.185D.527．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为()A．25cmB．45cmC．25cm或45cmD．25cm或43cm二、填空题8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OM的长为________．9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为________．图K－21－710.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．图K－21－811．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听课例1归纳总结3图K－21－912．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.链接听课例3归纳总结图K－21－10三、解答题13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝53，求弦CD的长及圆O的半径.链接听课例1归纳总结图K－21－1114．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图K－21－12415．一个半圆形桥洞截面如图K－21－13所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝16m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝45.(1)求半径OD；(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？链接听课例3归纳总结图K－21－13探索存在题如图K－21－14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K－21－145详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案]D2．[解析]C连接OA，如图．∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，∴AE＝OA2－OE2＝52－32＝4，∴AB＝2AE＝8.故选C.3．[解析]D连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA＝5m．∵CD＝8m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝OA2－OD2＝4m，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．4．[解析]A设OA与BC相交于点D，连接AB，OB.∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA垂直平分BC，∴OD＝AD＝3，在Rt△BOD中，由勾股定理得BD＝62－32＝33，∴BC＝63.故选A.5．[答案]A6．[解析]C∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5.过点C作CM⊥AB，交AB于点M，则M为AD的中点．∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝125.在Rt△ACM中，根据勾股定理，得AC2＝AM2＋CM2，即9＝AM2＋(125)2，解得AM＝95，∴AD＝2AM＝185.故选C.7．[解析]C连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD＝OC＝5cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝OA2－AM2＝3cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝45(cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝AM2＋MC2＝42＋22＝25(cm)．综上所述，AC的长为45cm或25cm.故选C.68．[答案]3cm[解析]由题意作图，如图所示，AB为过点M最长的弦，CD为过点M最短的弦，连接OD，则OM＝OD2－DM2＝52－42＝3(cm)．9．[答案](3，2)[解析]过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP.∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝3.在Rt△OPD中，∵OP＝13，OD＝3，∴PD＝OP2－OD2＝（13）2－32＝2，∴P(3，2)．10．[答案]6[解析]由AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M，N分别为AB，AC的中点，∴BC＝2MN＝6.11．[答案]23[解析]过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.∵OD⊥AB，∴AD＝BD.由折叠的性质可知OD＝12OA＝1，在Rt△OAD中，AD＝OA2－OD2＝22－12＝3，∴AB＝2AD＝23.故答案为23.12．[答案]25[解析]如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为Rcm.由题意得OC⊥AB，∴AD＝DB＝12AB＝20cm.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.故答案为25.13．解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°.在Rt△OEM中，∵OE＝4，7∴OM＝12OE＝2，EM＝OE·cos30°＝4×32＝23.∵DE＝53，∴DM＝DE－EM＝33.∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM＝63.∵在Rt△DOM中，OM＝2，DM＝33，∴OD＝OM2＋DM2＝22＋（33）2＝31.故弦CD的长为63，⊙O的半径为31.14．证明：(1)过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.∵PO平分∠EPF，OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON.在Rt△OMB和Rt△ONC中，OM＝ON，OB＝OC，∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，∴∠OBA＝∠OCD.(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC，∴BM＝CN.∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB＝CD.15．[解析](1)由OE⊥CD，根据垂径定理求出DE，解Rt△DOE可求半径OD；(2)在Rt△DOE中，由勾股定理求出OE，再用OE除以水面下降的速度，即可求出时间．解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝16m，∴ED＝12CD＝8m.在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝EDOD＝45，∴OD＝10m.(2)在Rt△DOE中，OE＝OD2－ED2＝102－82＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时0.5m的速度下降，经过12小时才能将水排干．[素养提升][解析](1)根据垂径定理可得BD＝12BC，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长；(2)连接AB，如图，利用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝12AB，即DE的长度保持不变．解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝12BC＝12×6＝3.在Rt△ODB中，OB＝5，BD＝3，∴OD＝OB2－BD2＝4，即线段OD的长为4.8(2)存在，DE的长度保持不变．连接AB，如图，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝OB2＋OA2＝52.∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D，E分别是线段BC和AC的中点，∴DE是△CBA的中位线，∴DE＝12AB＝522.