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1课时作业(二十五)[第三章6第1课时直线和圆的位置关系]一、选择题1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()链接听课例2归纳总结A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．如图K－25－1，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，⊙O的半径为5，则BP的长为()图K－25－1A.533B.536C．10D．53．2017·乐昌市期末在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(4，8)，半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．以上都不是4.如图K－25－2，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为()图K－25－2A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm5．如图K－25－3，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为()图K－25－3A.12B.32C.22D.336.2017·新沂市期中如图K－25－4，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ长的最小值为()2图K－25－4A.13B.5C．3D．57．如图K－25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆与AC，BC分别相切于点D，E，则AD的长为链接听课例4归纳总结()图K－25－5A．2.5B．1.6C．1.5D．1二、填空题8．2018·徐州如图K－25－6，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝________度．图K－25－69．如图K－25－7，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1cm，且OP＝4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么________s后⊙P与直线CD相切．图K－25－7三、解答题10．如图K－25－8所示，已知∠AOB＝30°，P为OB上一点，且OP＝5cm，以点P为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2cm；(2)r＝4cm；(3)r＝2.5cm.链接听课例2归纳总结图K－25－811．2017·南京如图K－25－9，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，3交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.图K－25－912．2017·北京如图K－25－10，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证：DB＝DE；(2)若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．图K－25－1013．如图K－25－11，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，4BD⊥PD，垂足为D，连接BC.(1)求证：BC平分∠PBD；(2)求证：BC2＝AB·BD；(3)若PA＝6，PC＝62，求BD的长．链接听课例4归纳总结图K－25－11开放型题如图K－25－12，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为F，连接BD，BE.(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论(不添加其他字母和辅助线，不必证明)：①________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________；④________________________________________________________________________.(2)若∠E＝30°，CD＝233，求⊙O的半径r.图K－25－125详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案]A2．[解析]D如图，连接OC.∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，∴OP＝2OC＝10，∴BP＝OP－OB＝10－5＝5.故选D.3．[解析]B在直角坐标系内，以P(4，8)为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8.∵r＝5，∴d＞r，∴⊙P与x轴相离．故选B.4．[解析]C如图，设切点为C，连接OC，OA，则OC⊥AB，∴AC＝BC.在Rt△AOC中，AO＝5cm，OC＝4cm，根据勾股定理，得AC＝52－42＝3(cm)，∴AB＝2AC＝6(cm)．5．[解析]A连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°.∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，∴∠E＝90°－∠COB＝30°，∴sinE＝12.故选A.6．[解析]B∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，而OQ＝2，∴PQ2＝OP2－4，即PQ＝OP2－4，则当OP最小时，PQ最小．∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为9－4＝5.故选B.7．[解析]B连接OD，OE，设AD＝x.∵半圆与AC，BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.又∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝CE＝OE＝OD＝4－x，BE＝6－(4－x)＝x＋2.∵OE∥AC，∴∠A＝∠BOE.又∵∠ODA＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴ADOE＝ODBE，即x4－x＝4－xx＋2，解得x＝1.6.8．[答案]126[解析]连接OD，∵CD与⊙O相切，∴∠ODC＝90°.∵∠C＝18°，∴∠COD＝72°.∵OA＝OD，6∴∠ODA＝∠A＝12∠COD＝36°，∴∠CDA＝∠ODC＋∠ODA＝90°＋36°＝126°.9．[答案]2或6[解析]如图，当CD在⊙P右侧，且与⊙P相切时，设切点为E，连接PE.在Rt△OEP中，∠EOP＝∠AOC＝30°，PE＝1cm，∴OP＝2PE＝2cm，故此时⊙P运动了4－2＝2(cm)，运动的时间为2÷1＝2(s)；当CD在⊙P左侧，且与⊙P相切时，同理可求得OP＝2cm，此时⊙P运动了4＋2＝6(cm)，运动的时间为6÷1＝6(s)，因此经过2s或6s后⊙P与直线CD相切．故答案为2或6.10．解：过点P作PC⊥OA于点C.∵∠AOB＝30°，∴PC＝12OP＝2.5cm.(1)∵dr，∴⊙P与直线OA相离．(2)∵dr，∴⊙P与直线OA相交．(3)∵d＝r，∴⊙P与直线OA相切．11．证明：(1)连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，∴PO平分∠APC.(2)∵OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.12．解：(1)证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA＋∠EBD＝90°.∵EC⊥OA，∴∠OAB＋∠CEA＝90°，∴∠EBD＝∠CEA.∵∠CEA＝∠BED，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE.(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接OE.7∵AE＝EB＝12AB＝6，∴OE⊥AB.∵DB＝DE，∴EF＝12BE＝3.在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝52－32＝4.∵∠AOE＋∠A＝90°，∠AEC＋∠A＝90°，∴∠AOE＝∠AEC.又∠AEC＝∠DEF，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝AEAO＝45.∵AE＝6，∴AO＝152，∴⊙O的半径为152.13．解：(1)证明：连接OC，如图．∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD.又∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD.(2)证明：连接AC，如图．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BD⊥PD，∴∠PDB＝90°.又∵∠CBD＝∠OBC，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝AB·BD.(3)在Rt△PCO中，OA＝OC，PA＝6，PC＝62，由勾股定理，得OC2＋PC2＝PO2，即OC2＋(62)2＝(6＋OA)2＝(6＋OC)2，解得OC＝3.∵OC∥BD，∴POPB＝OCBD，8即912＝3BD，解得BD＝4，∴BD的长为4.[素养提升]解：(1)答案不唯一，如BC⊥AB，AD⊥BD，DF＝FE，BD＝BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF＝∠BEF，∠A＝∠E，DE∥BC等(写出4个即可)．(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠E＝30°，∴∠A＝30°，∴BD＝12AB＝r.∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA＝90°，∴∠C＝60°.在Rt△BCD中，CD＝233，∴BDCD＝r233＝tan60°，∴r＝2.