1课时作业(二十六)[第三章6第2课时圆的切线的判定]一、选择题1.下列直线是圆的切线的是()链接听课例1归纳总结A.和半径垂直的直线B.和圆有公共点的直线C.到圆心的距离等于直径的直线D.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线2.在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定3.2017·十堰期末如图K-26-1,点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心,若∠BOC=140°,则∠BIC的度数为链接听课例3归纳总结()图K-26-1A.110°B.125°C.130°D.140°4.2017·武汉已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为()A.32B.32C.3D.235.如图K-26-2,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是()图K-26-2A.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC∥OD二、填空题6.如图K-26-3,⊙P的半径为2,圆心P在函数y=6x(x>0)的图象上运动,当⊙P2与x轴相切时,点P的坐标为________.图K-26-37.如图K-26-4,已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则⊙O的面积为________.图K-26-48.如图K-26-5,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,3cm长为半径作⊙A,当AB=________cm时,BC与⊙A相切.链接听课例2归纳总结图K-26-59.三角形的面积为12,周长为24,则其内切圆的半径为________.三、解答题10.如图K-26-6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.(1)先作∠ACB的平分线,设它交AB于点O,再以点O为圆心,OB长为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)求证:AC是所作⊙O的切线;(3)若BC=3,sinA=12,求△AOC的面积.图K-26-6311.如图K-26-7,AB是⊙O的弦,OA⊥OD于点O,AB,OD交于点C,且CD=BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.链接听课例2归纳总结图K-26-712.2017·黄石如图K-26-8,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于点D,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE.(1)求证:BD=DE;(2)求证:直线CF为⊙O的切线.图K-26-813.2018·新疆如图K-26-9,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B,连接PB,AO,延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E.(1)求证:PB是⊙O的切线;4(2)若CO=3,AC=4,求sinE的值.图K-26-9新定义探究题联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.举例:如图K-26-10①所示,若PD⊥AB,PE⊥BC,PD=PE,则点P为△ABC的准内心.应用:如图②所示,BF为等边三角形的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB,PE⊥BC,且PF=12BP,求证:点P是△ABC的内心.探究:如图③所示,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,准内心P在AC上,PD⊥AB.若PC=12AP,求∠A的度数.图K-26-105详解详析【课时作业】[课堂达标]1.[答案]D2.[解析]B∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴BC为△BDC外接圆的直径.又∵∠ACB=90°,∴AC⊥CB,∴AC是△BDC的外接圆的切线.3.[解析]B∵点O为△ABC的外心,∴∠A=12∠BOC=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°.∵点I为△ABC的内心,∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=12(∠ABC+∠ACB)=55°,∴∠BIC=180°-55°=125°.故选B.4.[解析]C如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G,E,F,过点A作AD⊥BC于D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理可知:AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=43.∵12·BC·AD=12(AB+BC+AC)·r,即12×5×43=12×20×r,∴r=3.故选C.5.[解析]A由于D是圆上一点,所以要说明DE是⊙O的切线,只需证明OD⊥DE即可.又因为DE⊥AC,所以当AC∥OD时,可得OD⊥DE;当CD=DB时,即D为BC的中点,而点O为AB的中点,所以OD∥AC;当AB=AC时,连接AD,因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC,所以CD=DB.因此B,C,D中的条件均可说明DE是⊙O的切线.6.[答案](3,2)7.[答案]π3[解析]设BC与⊙O切于点D,连接BO,OD,则BD=12BC,∠DBO=30°.在Rt△BOD中,∠BDO=90°,∠DBO=30°,BD=1,解直角三角形得OD=33,所以⊙O的面积S=π×332=π3.68.[答案]69.[答案]1[解析]由题意作图.因为S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△CAO,所以12AB·r+12BC·r+12CA·r=12,即12(AB+BC+CA)·r=12,所以r=2424=1.10.解:(1)如图所示.(2)证明:如图,过点O作OE⊥AC于点E.∵CF平分∠ACB,∠ABC=90°,∴OE=OB,∴AC是所作⊙O的切线.(3)∵sinA=12,∠ABC=90°,∴∠A=30°,∴∠ACO=∠OCB=12∠ACB=30°.∵BC=3,∴AC=23,OB=BC·tan30°=3×33=1,∴OE=OB=1,∴△AOC的面积为12AC·OE=12×23×1=3.11.解:(1)BD是⊙O的切线.证明:连接OB.∵OA=OB,∴∠OAC=∠OBC.∵OA⊥OD,∴∠AOC=90°,∴∠OAC+∠ACO=90°.∵CD=BD,∴∠DCB=∠DBC.∵∠DCB=∠ACO,∴∠ACO=∠DBC,∴∠DBC+∠OBC=90°,即∠OBD=90°,∴BD是⊙O的切线.(2)设BD=x,则CD=x,OD=x+1,OB=OA=3,在Rt△OBD中,由勾股定理得OB2+BD2=OD2,即32+x2=(x+1)2,解得x=4.∴线段BD的长为4.12.证明:(1)∵E是△ABC的内心,∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠CAE,7∴∠DBE=∠BED,∴DB=DE.(2)连接CD.∵BC为⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC,∴BD︵=CD︵,∴BD=CD.∵BD=DF,∴CD=DB=DF,∴∠BCF=90°,∴BC⊥CF,∴直线CF为⊙O的切线.13.解:(1)证明:连接OB,∵PO⊥AB,∴AC=BC,∴PA=PB.在△PAO和△PBO中,∵PA=PB,AO=BO,PO=PO,∴△PAO≌△PBO,∴∠OBP=∠OAP=90°,∴PB是⊙O的切线.(2)连接BD,则BD∥PO,且BD=2OC=6.在Rt△ACO中,CO=3,AC=4,∴AO=5.在△ACO与△PAO中,∠AOC=∠POA,∠ACO=∠PAO=90°,∴△ACO∽△PAO,∴AOPO=COAO=ACPA,∴PO=253,PA=203,∴PB=PA=203.∵BD∥PO,∴△EBD∽△EPO,∴BDPO=EBEP,解得EB=1207,∴EP=50021,∴sinE=PAEP=725.[素养提升]解:应用:证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵BF为△ABC的角平分线,∴∠PBE=30°.8∵PE⊥BC,∴PE=12BP.∵BF是等边三角形ABC的角平分线,∴BF⊥AC.∵点P是△ABC的准内心,PD⊥AB,PE⊥BC,∴PD=PE.∵PF=12BP,∴PE=PD=PF,∴点P是△ABC的内心.探究:根据题意,得PD=PC=12AP.∵sinA=PDAP=12APAP=12,∠A是锐角,∴∠A=30°.