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1课时作业(二十八)[第三章8圆内接正多边形]一、选择题1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为链接听课例1归纳总结()A.2B．22C.22D．13．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C.2D.34．若正六边形的两条平行边相距12cm，则它的边长为()A．6cmB．123cmC．43cmD.532cm5．2017·慈溪市期末如图K－28－1，A，B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于()图K－28－1A．12B．15C．18D．206．如图K－28－2，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列说法错误的是()链接听课例1归纳总结图K－28－2A．∠BAC＝30°B.AC︵＝BC︵2C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长二、填空题7．2017·邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a应是________.链接听课例2归纳总结图K－28－38．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．图K－28－410．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．图K－28－5三、解答题11．已知：如图K－28－6，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图K－28－6312．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证：AE＝BF；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．图K－28－713．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈，分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积(结果精确到1平方米)．(1)比较这些面积的大小；(2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律(不需证明)．4探究题(1)如图K－28－8①所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；(2)如图②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________，由此可猜测在图中，∠MON的度数是________．图K－28－85详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]A∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.2．[解析]A如图所示，E为切点，连接OA，OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝22OA＝2.故选A.3．[解析]A如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；图①如图②，图②∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，图③∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝3，则该三角形的三边长分别为1，2，3.6∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.4．[解析]C两条平行边相距12cm，即可得边心距为6cm，从而可得正六边形的边长为43cm.5．[解析]B连接OC，OA，OB，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15.故选B.6．[解析]A∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.显然∠BAC＝12∠BOC＝14∠AOB＝14×60°＝15°.故选项A说法错误．∵OC⊥AB，∴AC︵＝BC︵，故选项B说法正确．易知△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°，以AB为一边正好可以构成正六边形，故选项C说法正确．∵OC⊥AB，∴AC︵＝BC︵，∴∠AOC＝30°，360°30°＝12，∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D说法正确．故选A.7．[答案]23cm[解析]过正六边形的中心O作一边的垂线，垂足为B，连接OA.则∠O＝30°，AB＝1cm，∴OB＝ABtan30°＝3cm，∴a＝2OB＝23cm.故答案为23cm.78．[答案]3π[解析]如图所示，设正六边形的边长为a，∵正六边形的面积是183，∴△OAB的面积是33，即12AB·OA·sin60°＝33，12a2·32＝33，∴a＝23，∴OD＝OA·sin60°＝23×32＝3，∴S圆环＝S外接圆－S内切圆＝π×(23)2－π×32＝12π－9π＝3π.9．[答案]45°[解析]连接OA，OB，OC.∵正八边形是中心对称图形，∴中心角为360°÷8＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝180°－45°2＝67.5°.∵OA＝OB,∠OAM＝∠OBN，AM＝BN，∴△OAM≌△OBN，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MOB＝∠NOC.∵∠AOC＝∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC＝90°，∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝12(∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC)＝12∠AOC＝45°.10．[答案]2a2[解析]△ABC是等腰直角三角形，且AB＝a，则AC＝BC＝22a，则S△ABC＝12AC·BC＝12×2a2·2a2＝a24，中间的正方形的面积是a2，则阴影部分的面积是4×a24＋a2＝2a2.11．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，8∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝∠BAC＝36°，∴AE︵＝EB︵＝BC︵＝CD︵＝DA︵，即点A，E，B，C，D把⊙O五等分，∴五边形AEBCD是正五边形．12．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AF＝FE＝BA，∠AFE＝∠BAF.在△AFE与△BAF中，∵AF＝BA，∠AFE＝∠BAF，FE＝AF，∴△AFE≌△BAF，∴AE＝BF.(2)与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝FE，∠BAF＝∠AFE＝120°，∴∠ABM＝∠FAE＝30°，∴∠BAM＝90°.同理可得∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN.在△ABM和△DEN中，∵∠BAM＝∠EDN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，∴△ABM≌△DEN.同理可证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM.13．解：①当所围羊圈是正三角形时，其边长为20米，S正三角形＝12×20×103＝1003≈173(米2)；②当所围羊圈是正方形时，其边长为15米，S正方形＝152＝225(米2)；③当所围羊圈是正六边形时，其边长为10米，S正六边形＝6×12×10×1032＝1503≈260(米2)；④当所围羊圈是圆形时，其半径为30π米，S圆＝π·(30π)2＝900π≈286(米2)．(1)S正三角形S正方形S正六边形S圆．(2)周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大，圆可以近似看成是边数无穷多的正n边形，因而圆的面积最大．[素养提升]解：(1)连接OB，OC.∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OBA＝30°.又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB＝∠NOC，∴∠MON＝∠BOC＝120°.(2)90°72°360°n