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1课时作业(十)[27.2.1第3课时相似三角形判定定理3]一、选择题1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是60°，80°，则这两个三角形()A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．全等2．下列各组图形可能不相似的是()A．两个等边三角形B．各有一个角是45°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是()A．∠B＝∠B1B.ABA1B1＝ACA1C1C.ABA1B1＝BCB1C1D.ABB1C1＝ACA1C14．如图K－10－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()图K－10－1A．1对B．2对C．3对D．4对5．如图K－10－2，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()链接听课例1归纳总结图K－10－2A．4B．42C．6D．436．如图K－10－3，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图K－10－4中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是链接听课例2归纳总结()图K－10－32图K－10－47．如图K－10－5，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有()图K－10－5A．1对B．2对C．3对D．4对8．2017·常州如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是()图K－10－6A．(2，7)B．(3，7)C．(3，8)D．(4，8)二、填空题9．已知：如图K－10－7，在△ABC中，E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要添加的一个条件是________(写出一个即可)．图K－10－710．2017·攀枝花如图K－10－8，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝________．图K－10－811．如图K－10－9所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝42，AC＝5，AD＝4，则⊙O的直径AE＝________．3图K－10－9三、解答题12．2017·杭州如图K－10－10，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．链接听课例1归纳总结图K－10－1013．2017·株洲如图K－10－11，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.求证：(1)△DAE≌△DCF；(2)△ABG∽△CFG.图K－10－1114．如图K－10－12，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.(1)求证：△ABE∽△ADB；4(2)求线段AB的长．图K－10－1215．2017·宿迁如图K－10－13，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.链接听课例2归纳总结图K－10－13探究题(1)王华在学习相似三角形时遇到这样一道题：如图K－10－14①，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是________，并说明理由．(请给出你的解答)(2)请你参考上面的图形和结论，探究解答下面的问题：如图K－10－14②，在△ABC中，∠A＝30°，AC2＝AB2＋AB·BC，求∠ACB的度数．5图K－10－146详解详析[课堂达标]1．[解析]C第一个三角形的第三个内角为180°－40°－60°＝80°，所以这两个三角形有两组角对应相等，故它们一定相似．故选C.2．[解析]BA选项中，根据三边成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似．B选项中没有指明这个45°的角是顶角还是底角，所以无法判定其相似．C选项中已知一个角为105°，可以判定其为顶角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似．D选项中根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．3．D4．[解析]C由题意可得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，∴共有3对相似三角形．故选C.5．[解析]B∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝4.在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴ACBC＝CDAC，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝42.故选B.6．[解析]CA．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误．B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误．C.阴影部分的三角形与原三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D.阴影部分的三角形与原三角形的对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C.7．[解析]C△DPG∽△DAP，△CPF∽△CBP，△APG∽△BFP.8．[解析]A如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为E.∵OD＝2OA＝6，∴OA＝3.由题意易得Rt△CED∽Rt△DOA，∴CEDO＝DEAO＝CDAD.又∵CD＝AB，∴CE6＝DE3＝13，∴CE＝2，DE＝1，∴OE＝7，∴点C的坐标为(2，7)．9．答案不唯一，如AF＝12AC或∠AFE＝∠B等10．[答案]54[解析]由题意易知∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∴∠AED＝∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴EDDF＝AE＋ED＋ADDF＋BF＋DB，由翻折易知EC＝ED，FC＝FD，∴CFCE＝BC＋BDAC＋AD＝54.11．[答案]52[解析]由圆周角定理可知∠E＝∠C.∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝AEAC.∵AB＝42，AC＝5，AD＝4，7∴424＝AE5，∴AE＝52.12．解：(1)证明：∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，∴△AFD∽△AGB，∴AFAG＝ADAB.∵AD＝3，AB＝5，∴AFAG＝35.13．证明：(1)∵△DEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DF，DA＝DC，∠B＝∠EDF＝∠ADC＝90°，∠EFD＝∠DEF＝45°，∴∠CDF＋∠ADF＝∠ADE＋∠ADF＝90°，∴∠CDF＝∠ADE.在△DAE与△DCF中，DA＝DC，∠ADE＝∠CDF，DE＝DF，∴△DAE≌△DCF.(2)由(1)知∠DFC＝∠DEF＝45°.∵∠EFD＝45°，∠DFC＝45°，∴∠CFG＝∠DFC＋∠EFD＝90°，∴∠CFG＝∠B.又∵∠CGF＝∠AGB，∴△ABG∽△CFG.14．[解析]由“等腰三角形的两个底角相等”和圆周角定理可推∠ABE＝∠D，再加上公共角∠BAD，可证△ABE∽△ADB，进而可得ABAD＝AEAB，代入数据可求得线段AB的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB.(2)由△ABE∽△ADB得ABAD＝AEAB，∴AB2＝AD·AE＝(AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12，∴AB＝23.15．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE，∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BECF＝DEEF.∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CECF＝DEEF，即CEDE＝CFEF.又∵∠C＝∠B＝∠DEF，∴△EDF∽△CEF，∴∠CFE＝∠EFD，即FE平分∠DFC.8[素养提升]解：(1)(答案不唯一)∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或AC2＝AP·AB.理由略．(2)延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，如图所示．∵AC2＝AB2＋AB·BC＝AB(AB＋BC)＝AB(AB＋BD)＝AB·AD，∴ACAD＝ABAC.又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB＝∠D.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠D.在△ACD中，∠ACB＋∠BCD＋∠D＋∠A＝180°，∴3∠ACB＋30°＝180°，∴∠ACB＝50°.