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1第3课时相似三角形的判定(3)知能演练提升能力提升1.如图,在△ABC中,高BD,CE交于点O,下列结论错误的是()A.CO·CE=CD·CAB.OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·ABD.CO·DO=BO·EO2.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.如图,在等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为()A.9B.12C.15D.184.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相同,则每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()5.2如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为或时,使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标)6.如图,直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A,B两点,C为OB上一点,且∠1=∠2,则S△ABC=.7.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AC=√6,AD=2,问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?8.如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证:△ABD∽△CED;(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.3★9.如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式.(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中的y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.创新应用★10.一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:如图,在△ABC中,∠ACB∠ABC.(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数.4参考答案能力提升1.D2.C如图,过点P作PD∥BC,则有△APD∽△ABC;连接PC并延长,易知PC平分∠ACB,则有△CPB∽△ABC;过点P作PE∥AC,则有△PBE∽△ABC,所以符合题意的相似线最多有3条.3.A因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠B=∠C=60°.由∠ADE=60°,得∠ADB+∠EDC=120°,又因为∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠EDC.所以△ABD∽△DCE.则,设AB=BC=x,即-332,解得x=9.4.D选项A中,将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交,利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等,因此两三角形相似;B中,由于任意两个等边三角形相似,因此B中两三角形相似;同理C中两个正方形相似;D中内、外两个矩形对应边不成比例,故两矩形不相似.5.(1,0)(-1,0)6.3由已知得OA=2,OB=4,又∠1=∠2,∠AOB=∠AOC,所以△AOC∽△BOA.所以,即22.所以OC=1,BC=OB-OC=3.于是得S△ABC=12BC·OA=3.7.解在Rt△ACD中,AC=√6,AD=2,由勾股定理,得CD=√2-2√2.当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有,所以AB=2=3.5当Rt△ABC∽Rt△CAD时,有,所以AB=2=3√2.故当AB的长为3或3√2时,这两个直角三角形相似.8.(1)证明∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.∵CE是外角平分线,∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.又∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△CED.(2)解作BM⊥AC于点M,∵AC=AB=6,∴AM=CM=3,BM=√2-2=3√3.∵AD=2CD,∴CD=2,AD=4,MD=1.在Rt△BDM中,BD=√22=2√.由(1)知△ABD∽△CED,得2√=2,∴ED=√,∴BE=BD+ED=3√.9.解(1)∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠ADB=12(180°-30°)=5°,∠DAB+∠EAC=105°-30°=5°,∴∠ADB=∠EAC.又∠ABD=∠ACE=180°-5°=105°,∴△ABD∽△ECA,∴11,即xy=1.(2)要使xy=1还成立,即△ABD∽△ECA,此时∠ABC=∠ACB=12(180°-α),即∠ADB+∠DAB=12(180°-α).∵∠ADB=∠EAC,∴∠EAC+∠DAB=12(180°-α).∴β-α=12(180°-α),β=90°+12α.6故当α,β满足关系式β=90°+12α时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立.创新应用10.解(1)①如图,若点D在线段AB上,由于∠ACB∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.②如图,若点D在线段AB的延长线上,则∠ACD∠ACB∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在.③如图,若点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,则∠BAC90°∠CAD,不可能有△ACD∽△ABC.因此,这样的点D不存在.综上所述,这样的点D有一个.(2)若∠BAC为锐角,由(1)知,这样的点D有一个;若∠BAC为直角,这样的点D有两个;若∠BAC为钝角,这样的点D有一个.