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1课时作业(十一)[27.2.2相似三角形的性质]一、选择题1．2017·重庆若△ABC∽△DEF，且相似比为3∶2，则△ABC与△DEF的对应高的比为()A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶92．若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比为()A．1∶16B．16∶9C．4∶3D．3∶43．已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF对应高的比为()A．1∶3B．1∶9C．1∶18D．1∶814．2017·连云港如图K－11－1，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式中一定成立的是()图K－11－1A.BCDF＝12B.∠A的度数∠D的度数＝12C.△ABC的面积△DEF的面积＝12D.△ABC的周长△DEF的周长＝125．2017·永州如图K－11－2，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为()图K－11－2A．1B．2C．3D．46．如图K－11－3，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB∶AC等于()链接听课例3归纳总结图K－11－3A．1∶3B．1∶4C．1∶3D．1∶27．如图K－11－4，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为()2图K－11－4A.13B.14C.19D.1168．如图K－11－5，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE，DE和FG相交于点O.设AB＝a，CG＝b(ab)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③DGGC＝GOCE；④(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO.其中正确的有()图K－11－5A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．2018·连云港如图K－11－6，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为________．图K－11－610．若△ABC∽△A′B′C′，BC＝18cm，CA＝15cm，AB＝21cm，△A′B′C′的最短边长为5cm，则△A′B′C′的周长为________．11．如图K－11－7，在▱ABCD中，E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝________．图K－11－712．如图K－11－8，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝kx(x0)经过斜边OA的中点C，与另一条直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．图K－11－8三、解答题313．如图K－11－9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积．图K－11－914．如图K－11－10，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.求AG与GF的比．图K－11－1015．如图K－11－11所示，在▱ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝12CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．链接听课例3归纳总结图K－11－11数形结合如图K－11－12，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图K－11－13，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少毫米？请你计算．4(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图K－11－14，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求矩形面积达到这个最大值时矩形零件的相邻两边长．图K－11－12图K－11－13图K－11－145详解详析[课堂达标]1．A2.D3．[解析]B∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴△ABC与△DEF的相似比为1∶9，∴△ABC与△DEF对应高的比为1∶9.4．[解析]D已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，A选项中BC与DF不是对应边；B选项中的∠A和∠D是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A＝∠D；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得△ABC与△DEF的面积比是1∶4；根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得△ABC与△DEF的周长比是1∶2.因此A，B，C选项错误，D选项正确．5．[解析]C∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB＝ADAC，∴2AB＝12，∴AB＝4，∴S△ACDS△ABC＝(ACAB)2，∴1S△ABC＝(24)2，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝4－1＝3.6．[解析]C由题意可得△CAD∽△ABD，∴S△ABDS△CAD＝ABAC2＝13，∴ABAC＝13.7．[解析]D∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.∵DE∥AC，∴DEAC＝BEBC＝14，△DOE∽△COA，∴S△DOE∶S△AOC＝(DEAC)2＝116.8．[解析]B①由BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，CG＝CE，可证△BCG≌△DCE(SAS)，故①正确．②延长BG交DE于点H，由①可得∠CDE＝∠CBG.∵∠DGH＝∠BGC(对顶角相等)，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BG⊥DE，故②正确．③由△DGO∽△DCE可得DGDC＝GOCE，故③不正确．④易知△EFO∽△DGO，S△EFOS△DGO等于相似比的平方，即S△EFOS△DGO＝EFDG2＝b2（a－b）2，∴(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO，故④正确．9．[答案]1∶9[解析]∵DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，∴ADAB＝13，△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝19.故答案为1∶9.10．[答案]18cm11．[答案]4[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴EFCF＝DEBC，S△DEFS△BCF＝(DEBC)2.∵E是边AD的中点，∴DE＝12AD＝12BC，∴EFCF＝DEBC＝12，∴EFEC＝13，∴S△DEF＝13S△DEC＝1，S△DEFS△BCF＝14，∴S△BCF＝4.12．[答案]66[解析]如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB.∵C为Rt△AOB的斜边OA的中点，∴CE为Rt△AOB的中位线，且S△OCD＝S△ACD，∴△OEC∽△OBA，且OCOA＝12.∵双曲线所对应的函数解析式是y＝kx，∴S△OBD＝S△COE＝12k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k.由S△AOB－S△OBD＝S△OAD＝2S△OCD＝18，得2k－12k＝18，解得k＝12，∴S△OBD＝12k＝6.故答案为6.13．解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC∽△EFC，∴AEEC2＝S△ADES△EFC＝49，∴AEEC＝23，则AEAC＝25，故S△ADES△ABC＝AEAC2＝425.∵S△ADE＝4cm2，∴S△ABC＝25cm2.14．解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADG＝∠C.∵AF是△ABC的角平分线，∴∠DAG＝∠FAC，∴△ADG∽△ACF，∴ADAC＝AGAF.∵ADAC＝23，∴AGAF＝23，∴AG∶GF＝2∶1.15．[解析](1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF∽△CEB；(2)由△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BCE的面积，从而▱ABCD的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，7∴AD∥BC，AB綊CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝12CD，∴EC＝3DE，∴S△DEFS△CEB＝(DEEC)2＝19，S△DEFS△ABF＝(DEAB)2＝14.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8,∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.[素养提升]解：(1)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD.设PQ＝ED＝xmm，则PN＝2xmm，AE＝(80－x)mm，∴2x120＝80－x80，解得x＝2407，则2x＝4807.这个矩形零件的相邻两边长分别是2407mm和4807mm.(2)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD.设PQ＝ED＝xmm，则AE＝(80－x)mm，∴PN120＝80－x80，即PN＝80－x80·120＝3（80－x）2，∴S矩形PNMQ＝PN·PQ＝3（80－x）2·x＝－32x2＋120x＝－32(x－40)2＋2400，∴当x＝40时，S矩形PNMQ有最大值2400，此时PN＝3×（80－40）2＝60(mm)．∴矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长分别为40mm，60mm.