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128.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形知能演练提升能力提升1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解:的是()A.已知BC=3,∠C=90°B.已知∠C=∠B=45°C.已知∠C=90°,∠A=2∠BD.已知∠C=90°,∠A=38°,BC=52.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于F,连接FB,则tan∠CFB的值等于()A.√33B.√33C.5√33D.5√33.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.4B.√3C.4D.34.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,∠BAC的平分线交BC于点D,AD=0√33cm,则BC=cm.5.小敏想知道校园内一棵大树的高度,如图,她测得CB=10m,∠C=50°,请你帮她算出树高AB约为m.(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin50°≈0.,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)6.如图,某建筑物BC直立于水平地面,AC为9m,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20cm,则此阶梯最少要建阶.(最后一阶的高度不足20cm时,按一阶算,√3取1.732)2(第5题图)(第6题图)7.如图,B,C是河岸边两点,A是对岸岸边一点,测得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC=60m,则点A到对岸BC的距离是m.8.如图,在两面墙之间有一个底端在点A的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D.已知∠BAC=65°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE为3√m,求点B到地面的垂直距离BC.(精确到0.1m)3★9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan∠ABD=cos∠DAC.(1)求证:AC=BD;(2)若sinC=3,BC=12,求AD的长.创新应用★10.如图,已知☉O的半径为2,弦BC的长为2√3,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).(1)求∠BAC的度数;(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据:sin60°√3,cos30°√3,tan30°√33)4参考答案能力提升1.D2.C设EB=1,则AE=4,BC=5,AC=5√3.∴CF=√3.∴tan∠CFB=5√33.3.C由题意知DE是AB的垂直平分线,故设BE=AE=x,则CE=8-x.在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,即x2=62+(8-x)2,解得x=54,则CE=4.因此tan∠CBE=4.4.5√3由题意,cos∠CAD=50√33√3,∴∠CAD=30°.∴∠BAC=60°.∴tan∠BAC=5=tan60°=√3,∴BC=5√3cm.5.12AB=BC·tanC=10×tan50°≈12(m).6.267.308.解在Rt△ADE中,DE=3√m,∠DAE=45°,∴sin∠DAE=,∴AD=6m.又AD=AB,在Rt△ABC中,sin∠BAC=,∴BC=AB·sin∠BAC=6·sin65°≈5.4(m).∴点B到地面的垂直距离BC约为5.4m.9.(1)证明∵tan∠ABD=,cos∠DAC=,且tan∠ABD=cos∠DAC,∴,∴AC=BD.(2)解由sinC=3,可设AD=12k,AC=13k,k0,∴DC=√-=5k.由(1)知BD=AC=13k,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴k=3,∴AD=12×3=8.创新应用510.解(1)(方法1)连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于E.∵OE⊥BC,BC=2√3,∴BE=EC=√3.在Rt△OBE中,OB=2,∴sin∠BOE=√3,∴∠BOE=60°,∠BOC=0°.∴∠BAC=∠BOC=60°.(方法2)连接BO并延长,交☉O于点D,连接CD.∵BD是直径,∴BD=4,∠DCB=90°.在Rt△DBC中,sin∠BDC=√34√3,∴∠BDC=60°,∴∠BAC=∠BDC=60°.(2)∵△ABC的边BC的长不变,∴当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A应落在优弧BC的中点处.过点O作OE⊥BC于E,延长EO交☉O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,∠BAE=∠BAC=30°.在Rt△ABE中,∵BE=√3,∠BAE=30°,∴AE=tan30°√3√33=3.6∴S△ABC=×2√3×3=3√3,即△ABC面积的最大值是3√3.