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1第二十八章锐角三角函数本章中考演练一、选择题1．2018·天津cos30°的值为()A.22B.32C．1D.32．2018·孝感如图28－Y－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为()图28－Y－1A.35B.45C.34D.343．2018·宜昌如图28－Y－2，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于()图28－Y－2A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米4．2018·金华如图28－Y－3，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为()图28－Y－3A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα5．2018·重庆如图28－Y－4，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为()2(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)图28－Y－4A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米6．2018·绵阳一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在A点的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)()A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里二、填空题7．2018·德州如图28－Y－5，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是________．图28－Y－58．2018·广西如图28－Y－6，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m．(结果保留根号)图28－Y－69．2018·济宁如图28－Y－7，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.3图28－Y－710．2018·潍坊如图28－Y－8，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)图28－Y－8三、解答题11．2018·自贡如图28－Y－9，在△ABC中，BC＝12，tanA＝34，∠B＝30°，求AC和AB的长．图28－Y－912．2018·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图28－Y－10，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得雕塑顶端点C的仰角为45°.问：该雕塑有多高？(测角仪的高度忽略不计，结果不取近似值)图28－Y－10413．2018·遂宁如图28－Y－11，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1∶3的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC(结果保留根号)．图28－Y－1114．2018·内江如图28－Y－12是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝34.求灯杆AB的长度．图28－Y－125详解详析1．B2．[解析]A在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝AB2－AC2＝102－82＝6，∴sinA＝BCAB＝610＝35.故选A.3．[解析]C∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．故选C.4．[解析]B在Rt△ABC中，AB＝ACsinα，在Rt△ACD中，AD＝ACsinβ，∴AB∶AD＝ACsinα∶ACsinβ＝sinβsinα.故选B.5．[解析]B如图，延长AB交ED的延长线于点M，过点C作CJ⊥DM于点J，则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中，CJDJ＝10.75＝43.设CJ＝4k米，DJ＝3k米，则有CD＝9k2＋16k2＝5k＝2，∴k＝25，∴BM＝CJ＝85米，BC＝MJ＝1米，DJ＝65米，EM＝MJ＋DJ＋DE＝465米．在Rt△AEM中，tan∠AEM＝AMEM，∴1.6≈AB＋85465，解得AB≈13.1(米)．故选B.6．[解析]B如图所示，6由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝15°，过点B作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE＝∠ACB＝15°，则∠BED＝30°，BE＝CE.则AB＝BE.设BD＝x海里，则AB＝BE＝CE＝2x海里，AD＝DE＝3x海里，∴AC＝AD＋DE＋CE＝(23x＋2x)海里．∵AC＝30海里，∴23x＋2x＝30，解得x＝15（3－1）2≈5.49.故选B.7．[答案]55[解析]∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝BCAB＝55.8．[答案]403[解析]由题意可得：∠BDA＝45°，则AD＝AB＝120m.又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝CDAD＝33，解得CD＝403m.9．[答案]3[解析]首先由题意可得：△ACB是等腰三角形，可求得BC的长为2km，然后由点C作CD⊥AB于点D，构造Rt△CBD，应用边、角之间的三角函数关系确定CD＝BC·sin60°，求得结果．过点C作CD⊥AB于点D，根据题意，得∠CAD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km.在Rt△CBD中，CD＝BC·sin60°＝2×32＝3(km)．10．[答案]18＋635[解析]过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为N.设PQ＝MN＝x海里，解Rt△APQ和Rt△BPQ求得x的值，再解Rt△BMN求出BM的长度，利用“路程÷速度＝时间”解答即可．7如图，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为N.AB＝60×1.5＝90(海里)．设PQ＝MN＝x海里，由点P在点A的东北方向可知，∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝x海里，BQ＝(x－90)海里．在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°－30°＝60°，tan60°＝xx－90＝3，解得x＝135＋453.在Rt△BMN中，∠MBN＝90°－60°＝30°，∴BM＝2MN＝2x＝2×(135＋453)＝(270＋903)海里，∴航行时间为：270＋90375＝18＋635(时)．11．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝12BC＝6，BH＝BC2－CH2＝63.在Rt△ACH中，tanA＝34＝CHAH，∴AH＝8，∴AC＝AH2＋CH2＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋63.12．解：如图，设雕塑的高CD为x米．在Rt△ACD中，AD＝xtan30°；在Rt△BCD中，BD＝xtan45°＝x.根据题意，得AD－BD＝4，即xtan30°－x＝4，解得x＝23＋2.答：雕塑的高CD为(23＋2)米．13．解：如图，过点D作DF⊥AC于点F.8∵DF∶AF＝1∶3，AD＝200米，∴tan∠DAF＝33，∴∠DAF＝30°，∴DF＝12AD＝12×200＝100(米)．∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100米．∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝200米．在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BEBD，∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×32＝1003(米)，∴BC＝BE＋EC＝(100＋1003)米．即山高BC为(100＋1003)米．14．解：如图，过点B作BH⊥DE，垂足为H，过点A作AG⊥BH，垂足为G.∵BH⊥DE，∴∠BHD＝∠BHE＝90°.在Rt△BHD中，tanα＝BHDH＝6，在Rt△BHE中，tanβ＝BHEH＝34，∴BH＝6DH，BH＝34EH，∴8DH＝EH.∵DE＝18米，DE＝DH＋EH，∴9DH＝18米，∴DH＝2米，BH＝12米．9∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°，∴四边形ACHG为矩形，∴GH＝AC＝11米，∠CAG＝90°，BG＝BH－GH＝12－11＝1(米)．∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°，∴在Rt△AGB中，AB＝2BG＝2米．即灯杆AB的长度为2米．