2018-2019学年九年级数学下册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 最大面积

1课时作业(十五)[第二章4第1课时最大面积问题]一、选择题1．2017·南通一模为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，矩形池底的周长为100m，则池底的最大面积是()A．600m2B．625m2C．650m2D．675m22．用长8m的铝合金条制成如图K－15－1所示形状的矩形窗框，这个窗户的最大透光面积为()图K－15－1A.6425m2B.43m2C.83m2D．4m2二、填空题3．如图K－15－2，在长度为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________．图K－15－24．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两道墙隔开(如图K－15－3)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.链接听课例题归纳总结图K－15－35．如图K－15－4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿AB方向以2mm/s的速度向点B移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC方向以4mm/s的速度向点C移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B两点同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．2图K－15－46．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，如图K－15－5，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4m，该车要想通过此门，装货后的最大高度应是________m.图K－15－5三、解答题7．如图K－15－6所示，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2.(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．链接听课例题归纳总结图K－15－68．2018·福建在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的边AD靠墙，其中AD≤MN，另三边一共用了100米木栏．(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．9．如图K－15－7，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP3在BC边上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H.(1)求证：AHAD＝EFBC；(2)设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．图K－15－710．如图K－15－8①是一个拱形桥，该拱形桥及河道截面的示意图如图②所示，该示意图由抛物线的一部分ABC(B是该抛物线的顶点)和矩形的三边AO，OD，CD组成．已知河底OD是水平的，OD＝10m，CD＝8m，点B到河底的距离是点A到河底的距离的1.5倍．以OD所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；(2)一行人走在该拱形桥上面，他不小心把帽子掉进了河里的点M处(漂在河面上)，该行人在A处用一根2.5m长的木棍恰好能钩到距离点E1.5m的帽子，求此时河水的高度．图K－15－84动点探究题如图K－15－9，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2)．(1)求抛物线的表达式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．(3)E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时点E的坐标．图K－15－95详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]B设矩形的一边长为xm，则其邻边长为(50－x)m，若面积为Sm2，则S＝x(50－x)＝－x2＋50x＝－(x－25)2＋625.∵－1＜0，∴S有最大值．当x＝25时，S有最大值为625.故选B.2．[解析]C设窗框水平的边长为xm，则竖直的边长为8－3x2m，∴S＝8－3x2·x＝－32x2＋4x＝－32(x－43)2＋83(0＜x＜83)．∴当x＝43时，S最大值＝83，即这个窗户的最大透光面积是83m2.3．[答案]12[解析]设AP＝x，则PB＝1－x.根据题意，得这两个正方形面积之和为x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2x－122＋12.因为a＝20，所以当x＝12时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为12.故答案为12.4．[答案]1445．[答案]3[解析]设P，Q同时出发后，经过的时间为ts(0＜t＜6)，四边形APQC的面积为Smm2，则有S＝S△ABC－S△PBQ＝12×12×24－12×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.∵4＞0，∴当t＝3时，S取得最小值．6．[答案]2.816[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y＝ax2，由题意得：点A的坐标为(2，－4.4)，∴－4.4＝4a，解得a＝－1.1，∴抛物线的表达式为y＝－1.1x2，当x＝1.2时，y＝－1.1×1.44＝－1.584，∴线段OB的长为1.584m，∴BC＝4.4－1.584＝2.816(m)，∴装货后的最大高度为2.816m，故答案为2.816.7．[解析]先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数表达式，然后运用公式法或配方法把函数表达式化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．6解：(1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝12(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－92)2＋814.∵当0x≤92时，y随x的增大而增大，而0x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.8．[解析](1)设AB＝xm，则BC＝(100－2x)m，利用矩形的面积公式得到x(100－2x)＝450，解方程得x1＝5，x2＝45，然后计算100－2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；(2)设AD＝ym，利用矩形面积公式得到S＝12y(100－y)，配方得到S＝－12(y－50)2＋1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜y≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a－12a2.解：(1)设AB＝xm，则BC＝(100－2x)m，根据题意得x(100－2x)＝450，解得x1＝5，x2＝45.当x＝5时，100－2x＝90＞20，不合题意，舍去；当x＝45时，100－2x＝10.答：所利用旧墙AD的长为10m.(2)设AD＝ym，∴S＝12y(100－y)＝－12(y－50)2＋1250，若a≥50，则当y＝50时，S的最大值为1250；若0＜a＜50，则当0＜y≤a时，S随y的增大而增大，当y＝a时，S的最大值为50a－12a2.综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250平方米；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为(50a－12a2)平方米．9．解：(1)证明：在矩形EFPQ中，EF∥PQ，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC，EF∥PQ，∴AH⊥EF，∴AHAD＝EFBC.(2)设矩形EFPQ的面积为y.∵AHAD＝EFBC，∴AH4＝x5，∴AH＝45x，∴DH＝4－45x，7∴y＝－45x2＋4x＝－45(x－52)2＋5(0＜x＜5)．又∵a＝－45＜0，∴当x＝52时，y有最大值5.即当x＝52时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.10．解：(1)由题意可得：AO＝CD＝8m，所以点B的纵坐标为1.5×8＝12，则点B的坐标为(5，12)．设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋12，将A(0，8)代入表达式，得8＝a(0－5)2＋12，解得a＝－425，故抛物线的表达式为y＝－425(x－5)2＋12，即y＝－425x2＋85x＋8.(2)连接AM，由题意可得AM＝2.5m，EM＝1.5m，在Rt△AEM中，AE＝AM2－EM2＝2(m)，则EO＝8－2＝6(m)，故此时河水的高度为6m.[素养提升][解析](1)把A(－1，0)，C(0，2)代入y＝－12x2＋bx＋c列方程组即可；(2)先求出CD的长，分两种情形：①当CP＝CD时，②当DC＝DP时，分别求解即可；(3)求出直线BC的表达式，设E(m，－12m＋2)，则F(m，－12m2＋32m＋2)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．解：(1)把A(－1，0)，C(0，2)代入y＝－12x2＋bx＋c，得－12－b＋c＝0，c＝2，解得b＝32，c＝2，∴抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2.(2)存在．如图①，∵C(0，2)，D(32，0)，∴OC＝2，OD＝32，CD＝OD2＋OC2＝52.8当CP＝CD时，可得P1(32，4)．②当CD＝DP时，可得P2(32，52)，P3(32，－52)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(32，4)或(32，52)或(32，－52)．(3)如图②，对于抛物线y＝－12x2＋32x＋2，当y＝0时，－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝4，x2＝－1，∴B(4，0)．由B(4，0)，C(0，2)得直线BC的表达式为y＝－12x＋2.设E(m，－12m＋2)，则F(m，－12m2＋32m＋2)，∴EF＝(－12m2＋32m＋2)－(－12m＋2)＝－12m2＋2m＝－12(m－2)2＋2.∵－12＜0，∴当m＝2时，EF有最大值2，此时E是BC的中点，即当点E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，△CBF的最大面积＝12×4×2＝4，此时E(2，1)．