剖析函数单调性

精品WORD文档下载可编缉使用剖析函数单调性剖析函数单调性函数的单调性是高中数学教材中的重要内容，应深刻理解单调性的概念及定义的内涵、性质。现就笔者在教学中遇到的问题加以归纳，希望对广大中学生朋友们有所帮助。高中数学第一册(上)P：63-64页(人教社、2006年11月第2版)一般地：设函数f(x)的定义域为Ⅰ：如果对于属于定义域Ⅰ内的某个区间上的任意两个自变量的值，，当<时，都有f()<f()，那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间的任意两个自变量的值，，当<时，都有f()>f()，那么就说在这个区间上是减函数。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。精品WORD文档下载可编缉使用对函数的单调性定义的理解，应掌握以下几点：①单调性是函数在某一区间上的整体性质，定义中的、在这一区间内具有任意性，证明时不可用特殊值代替。函数的单调性是函数在其定义域上的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。②函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时必须指明对应的区间。函数的单调区间一定是其定义域的子集。③函数具备单调性是指在某个区间上的增或减的趋势，因此写单调区间时，可以写成包含端点的闭区间，也可以写成不包含端点的开区间，但一般要求把端点至少写在一个给定的区间内(不在定义域内的点除外)。④函数的单调性是充要性质的命题，使得自变量间的不等关系和函数值间的不等关系可以“正逆互推”。⑤f(x)在区间、上是增函数，但f(x)在上不一定是增函数。同样地，f(x)在区间、上是减函数，但f(x)在区间上不一定是减函数。精品WORD文档下载可编缉使用⑥函数在整个定义域上单调递增(或递减)，则称函数为单调函数。如果函数在定义域的某个区间上才是单调的，不能称为单调函数。如f(x)=x+1是单调函数，f(x)=不是单调函数。⑦证明函数的单调性一般用定义法或导数法。而判断函数的单调性一般用定义法、导数法、复合函数的单调性法、利用已知函数的单调性法、利用图象法等。例1：函数f(x)的定义域为R,对任意的x、y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2⑴证明f(x)是R上的奇函数⑵证明f(x)是R上的减函数⑶求f(x)在区间上的最大值和最小值证明：⑴∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)精品WORD文档下载可编缉使用令x=y=0∴f(0)=2f(0)∴f(0)=0令y=-x∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是R上的奇函数而在证明函数f(x)在R上单调性时，一般学生易表述成如下的几种错误情形：错误情形一：证明：∵x>0时，f(x)<0=f(0)精品WORD文档下载可编缉使用∴f(x)在(0,+∞)上是减函数，又∵f(x)是R上的奇函数，而奇函数在对称区间上有相同的单调性，∴f(x)在(-∞，0)上为减函数。∴f(x)是R上的减函数。评析：ⅰ：这里相当于取=x、=0(x∈R)，这与定义中,都具有任意性不符。ⅱ：f(x)在(-∞，0)上为减函数，在(0,+∞)上也为减函数，并不能说明f(x)在R上为减函数，如f(x)=在(-∞，0)上和在(0,+∞)上都为减函数，但在定义域上不为减函数。错误情形二：精品WORD文档下载可编缉使用∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)且f(1)=-2当x>0时，令x>0、y=1∴f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)-2∴f(x+1)-f(x)=f(1)=-2<0∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.评析：这里相当于取=x+1，=x,(x∈R)虽然、都具有任意性，但与是满足-=1为定值，而定义中、是相互独立的任意变量，两者不具备某种等量关系，即、之间无任何依赖关系，故这与单调性定义矛盾。错误情形三：设>>0，∴f()=f[(-)+]=f(-)+f()∴f()-f()=f(-)精品WORD文档下载可编缉使用∵x>0时，f(x)<0∵>∴f()-f()=f(-)<0∴f()<f()∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)是R上的奇函数，而奇函数在对称区间上有相同的单调性，∴f(x)在(-∞，0)上为减函数。又f(0)=0∴f(x)在(-∞，+∞)上连续∴f(x)是R上的减函数。评析：精品WORD文档下载可编缉使用ⅰ：f(x)在x=0处有定义，不能推出f(x)在x=0处连续，要证f(x)在x=0处连续，须由函数f(x)在x=0处连续的定义。ⅱ：f(x)在(-∞，0)上为减函数，在(0,+∞)上也为减函数，且f(0)=0，并不能推出f(x)在R上是减函数。常规证法如下：证明：⑴∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)令x=y=0∴f(0)=2f(0)∴f(0)=0令y=-x∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x)(x∈R)精品WORD文档下载可编缉使用∴f(x)是R上的奇函数⑵设>(、∈R)∵当x>0时,f(x)<0∴f(-)<0∵f()=f[(-)+]=f(-)+f()∴f()-f()=f(-)<0∴f()<f()∴f(x)是R上的减函数。⑶∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)令y=x∴f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)令x=1得f(2)=2f(1)=-4,精品WORD文档下载可编缉使用令x=2,y=1得f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=(-4)+(-2)=-6∵f(x)在R上为奇函数∴f(-3)=-f(3)=6又由⑵知f(x)是上的减函数∴=f(3)=-6=f(-3)=6评析：设>(、∈R)，f()=f[(-)+]=f(-)+f()是重点，也是证明“对x、y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)”这类抽象函数单调性的关键，体现“加用减”来转化的策略。例2：设函数f(x)的定义域为R上，对任意实数m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时有0<f(x)<1⑴求证：f(0)=1,且当x<0时，f(x)>1精品WORD文档下载可编缉使用⑵求证:f(x)在R上为减函数⑶设集合A={(x,y)∣f()f()>f(1)},B={(x,y)∣f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=求a的取值范围?证明：⑴任意实数m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)令m=1,n=0得:f(1+0)=f(1)f(0)=f(1)∵x>0时有0<f(x)<1∴f(0)=1设x<0∴-x>0,令m=x,n=-x得f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1∴f(x)=∵-x>0时，有0<f(-x)<1,∴当x<0时f(x)=>1精品WORD文档下载可编缉使用⑵由于x>0时,f(x)∈(0,1)又由⑴知x≤0时f(x)≥1∴当x∈R时，都有f(x)>0设>(、∈R)∴f()=f[(-)+]=f(-)f()∴=f(-)∵x>0时有0<f(x)<1∵->0∴0<f(-)<1∴<1当x∈R时，都有f(x)>0∴f()<f()精品WORD文档下载可编缉使用∴f(x)在R上为减函数。⑶∵f()f()>f(1)∴f()>f(1)∵f(x)在R上为减函数。∴<1∴A={(x,y)∣<1}而f(ax-y+2)=1=f(0)∵f(x)在R上为单调函数。∴ax-y+2=0∴y=ax+2∴B={(x,y)∣y=ax+2}∵A∩B=∴直线ax-y+2=0与圆=1相离或相切精品WORD文档下载可编缉使用d=≥R=1∴≤3∴a∈[-,]评析：ⅰ：第⑴问中关键是推出f(x)=ⅱ：第⑵问中关键是f()=f[(-)+]=f(-)f()，推出=f(-)，这是证明“对任意实数m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)”这类抽象函数单调性的关键，体现“乘用除”来转化的策略。ⅲ：第⑶问也可设=+t(t>0),f()=f(+t)=f()f(t)<f()或者设<(、∈R)则==>1又f()、f()>0∴f()>f()。练习:精品WORD文档下载可编缉使用定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1且对任意的a、b∈R有f(a+b)=f(a)f(b)证明：⑴f(0)=1⑵对任意x∈R，恒有f(x)>0⑶f(x)是R上的增函数⑷若f(x)f(2x-)>1,求x的取值范围答案与提示：⑷x∈(0,3)