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1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.5三角形内角和定理一、选择题1.在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.10°2.在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）A.10°B.20°C.30°D.40°3.下列说法错误的是（）A.一个三角形中至少有一个角不大于60°B.锐角三角形中任意两个角的和小于直角C.一个三角形中至多有一个角是钝角D.一个三角形中至多有一个角是直角4.下列叙述中正确的是（）A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于内角C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形每一个内角都只有一个外角5.如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）A.4∶3∶2B.3∶2∶4C.5∶3∶1D.3∶1∶56.三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.非锐角三角形7.等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A.55°B.70°C.55°或70°D.以上答案都不对8.在△ABC中，∠A＝36°，∠C是直角，则∠B＝________.9.在△ABC中（1）∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则此三角形是______三角形；（2）∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形是______三角形；（3）∠A＝2∠B＝3∠C，则此三角形是______三角形；2（4）∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是______三角形；（5）∠A－∠B＝∠C，则此三角形是______三角形.10.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝_______.11.如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________°．12.如图，在四边形ABCD中，∠B=70°，∠C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________.13.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°．14.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______．315.一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_________°16.已知∠ABC，∠ACB的平分线交于I.（1）根据下列条件分别求出∠BIC的度数：①∠ABC＝70°，∠ACB＝50°；②∠ACB＋∠ABC＝120°；③∠A＝90°；④∠A＝n°.（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗？17.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.4答案一、选择题1.【答案】B【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180o(三角形内角和为180o),且∠A=75°，∠B=50°，∴∠C＝180o－（∠A+∠B）＝180o－（75°+50°）＝55°，故选D.2.【答案】B【解析】设∠C=k°，则三个内角的度数分别为4k°，4k°，k°，根据三角形内角和定理，可知4k°+4k°+k°=180°，得k°=20°，即∠C的度数是20°．故选B．3.【答案】B【解析】如果锐角三角形中任意两个角的和小于直角，那么不符合三角形内角和定理．故选B．4.【答案】C【解析】A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；B、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；D、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误.故选C．5.【答案】C【解析】∵三角形三个外角的度数之比为2：3:4，而这三个外角的和为360°，∴这三个外角分别为：80°、120°、160°，∴与这三个外角相邻的内角度数分别为：100°、60°、20°，∴对应的三个内角的度数之比为：100:60:20=5:3:1.故选C.6.【答案】D【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角大于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于或等于90°的角，则这个三角形就是一个钝角三角形或直角三角形.故选D.7.【答案】C【解析】因为等腰三角形的一个外角为110°，所以相邻的内角为180°-110°=70°，分两种情况讨论：（1）当此角是底角时，则它的底角为70°；（2）当此角为顶角时，则底角为（180°-70°）÷2=55°∴综上可知，底角为55°和70°．故选C．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.三角形的外角性质．8.【答案】54°【解析】根据直角三角形的两个锐角互余得：∠B=90°-∠A=90°-36°=54°．59.【答案】(1).等腰直角；(2).直角；(3).钝角；(4).直角；(5).直角；【解析】（1）∠A：∠B：∠C=1：1：2，则∠A=∠B，且∠C=90°．则此三角形是等腰直角三角形；（2）∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x．则2x+3x+5x=180°，解得x=18°．则5x=5×18=90°，则此三角形是直角三角形；（3）∠A=2∠B=3∠C，同（2）求解，解得∠A＞90°，则此三角形是钝角三角形；（4）∠A=∠B=∠C，同（2）求解，解得∠C=90°，则此三角形是直角三角形；（5）∠A-∠B=∠C，同（2）求解，解得∠A=90°，则此三角形是直角三角形．10.【答案】18°【解析】设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，即2x+2x+x=180°，所以x=36°，∠C=2x=72°．在直角三角形BDC中，∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°．考点：三角形内角和定理．11.【答案】25【解析】∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ECD=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=50°，∴∠EDC=∠ECD=25°．12.【答案】40°【解析】如图，∵∠B=70°，∠C=50°，∴∠E=180°-∠B-∠C=180°-70°-50°=60°，∴∠α=180°-60°-100°=20°．13.【答案】280【解析】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°.故答案为：280.14.【答案】140°【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°，∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°．故答案为：140．15.【答案】65【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，∴∠2=155°-90°=65°．16.【答案】（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+n°.（2）∠BIC=90°+∠A.【解析】（1）①已知∠ABC，∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC6中，由内角和定理求∠BIC的度数；②已知∠ABC+∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；③已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；④已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；（2）∠BIC的大小不发生变化．可由角平分线的性质及三角形内角和定理求出∠BIC=90°+∠A．解：（1）①∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC=35°，∠ICB=∠ACB=25°，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；②∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；③∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=135°；④∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=90°+n°；（2）∠BIC的大小不发生变化．∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，7∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-（∠ABC+∠ACB），=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，17.【答案】证明见解析.【解析】根据三角形外角的性质推出∠2=∠FAB+∠FBA，根据三角形内角和定理，即可推出∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．证明：∵∠ADB是△ADC的外角∴∠ADB＝∠3+∠C∵∠1+∠2+∠ADB=180°∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°