搜索
121.2解一元二次方程一、选择题(每小题3分，总计30分。请将唯一正确答案的字母填写在表格内)题号12345678910选项1．一元二次方程x2﹣9=0的根为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．02．将一元二次方程x2﹣6x=2化成（x+h）2=k的形式，则k等于（）A．﹣7B．9C．11D．53．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1B．1，﹣3，﹣1C．﹣1，﹣3，﹣1D．1，3，14．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x1=x2=﹣1B．x1=x2=2C．x1=1，x2=2D．x1=﹣1，x2=25．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（）A．2B．﹣1C．2或﹣1D．﹣2或16．若方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．4B．﹣4C．D．7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（）A．1﹣b2B．b2﹣4C．b2+4D．b2+18．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3B．1C．﹣1D．﹣39．若x2﹣4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）A．p=4，q=2B．p=4，q=﹣2C．p=﹣4，q=2D．p=﹣4，q=﹣210．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35=0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2=35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x=5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21=0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（）A．S=21+4=25B．S=21﹣4=17C．S=21+4=25D．S=21﹣4=17二、填空题(每题4分，总计20分)11．已知y=x2+x﹣34，当x=时，y=﹣2．12．方程（x﹣5）2=5的解为．13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是．14．如果一元二次方程的根x2+4x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是．15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．三．解答题（共8小题,总计70分）16．用直接开平方法解方程：2（x+5）2=17．用配方法解方程：3x2﹣1=4x．218．利用公式法解方程：x2+1=3x．19．用因式分解法解方程：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．20．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．22．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．23．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=时，代数式3（x+3）2+4有最（填写大或小）值为．（2）当x=时，代数式﹣2x2+4x+3有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？3参考答案一．选择题（共10小题）题号12345678910选项CCADAACBBC二．填空题（共5小题）11．或．12．．13．13．14．m＞4．15．三．解答题（共8小题）16．解：方程两边同时除以2得（x+5）2=，x+5=±，解得：x1=﹣，x2=﹣．17．∵3x2﹣1=4x∴3x2﹣4x=1∴x2﹣x=∴x2﹣x+=+∴（x﹣）2=∴x=∴x1=，x2=．18．解：由原方程，得x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵△=9﹣4=5，∴x=，解得：x1=，x2=．19．解：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0，（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）=0，（y﹣1）（y﹣1﹣2y）=0，y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，所以y1=1，y2=﹣1．20．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤．4（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．22．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．23．解：（1）∵（x+3）2≥0，∴当x=﹣3时，（x+3）2的最小值为0，则当x=﹣3时，代数式3（x+3）2+4的最大值为4；（2）代数式﹣2x2+4x+3=﹣2（x﹣1）2+5，则当x=1时，代数式﹣2x2+4x+3的最大值为5；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．