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122.2二次函数与一元二次方程学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是（）A．（3，0）B．（﹣2，0）C．（﹣6，0），（1，0）D．（3，0），（﹣2，0）2．下列二次函数中，（）的图象与x轴没有交点．A．y=3x2B．y=2x2﹣4C．y=3x2﹣3x+5D．y=8x2+5x﹣33．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜0＜x2，则当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是（）A．x1＜x＜x2B．x1≤x≤x2C．﹣x1≤x≤x2D．x≤x1或x≥x24．如果二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方，则c的取值范围为（）A．c＜﹣1B．c≤﹣1C．c＜0D．c＜15．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（）A．x2﹣1=﹣3xB．x2+3x+1=0C．3x2+x﹣1=0D．x2﹣3x+1=06．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.37．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：2①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜29．对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜nB．m＜a＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．a＜m＜n＜b11．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（）A．3＜α＜β＜5B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5D．α＜3且β＞512．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（）A．x=1B．x=2C．x=D．x=﹣二．填空题（共5小题）13．若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．314．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．15．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为．16．已知抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A（α，0），B（β，0）两点，且α2+β2=17，则k=．17．已知一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1，x2．则抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为．三．解答题（共4小题）18．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．419．设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．20．已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？521．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．6参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：令y=0，求出x的值为﹣2与3，故交点坐标为（3，0），（﹣2，0），故选：D．2．解：利用△=b2﹣4ac分别判断每个二次函数，A项函数△=0，图象与x轴一个交点；B项函数△=32＞0，图象与x轴有两个交点；C项函数△=﹣51＜0，图象与x轴没有交点；D项函数△=76＞0，图象与x轴有两个交点．故选：C．3．解：当ax2+bx+c≤0时，即y≤0，由图象可知：x1≤x≤x2时，y≤0∴当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是x1≤x≤x2．故选：B．4．解：由题意得，解得c＜﹣1，故选：A．5．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．7故选：A．6．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=1.3∴x1+x2=1.3+x2=﹣2解得x2=﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣3.3，故选：D．7．解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵y=a（x﹣1）2﹣4a，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；当x=4时，y=a•5•1=5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a，c=﹣3a，∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，8整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．故选：B．8．解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣=﹣1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．9．解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．10．解：函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，令y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a，b，∵当x=m或n时，y=3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选：D．11．解：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，画出函数图象，如图所示．9∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），∴α＜3＜5＜β．故选：D．12．解：∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2，∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x==．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．14．解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=110故答案为x1=﹣2，x2=1．15．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a，∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为﹣=2．故答案为：2．16．解：∵抛物线y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2与x轴交于A（α，0），B（β，0）两点，∴α+β=k﹣1，αβ=﹣3k﹣2，∵α2+β2=17，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k﹣1）2﹣2（﹣3k﹣2）=17，解得，k=2或k=﹣6，∵△≥0，∴k=2．故答案为：2．17．解：∵一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5的两个实数根分别为x1、x2，∴抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5与x轴交于点（x1，0）、（x2，0），∴y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5=（x﹣x1）（x﹣x2），∴y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），∴抛物线y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．故答案为：（1，0）、（3，0）．三．解答题（共4小题）18．11（1）证明：由题意可得：△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）=1+25m2﹣20m+20m=25m2+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴=2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．19．解：（1）由题意△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0∴抛物线不经过点C把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣112（3）当x=2时m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①∵a+b＜0∴﹣a﹣b＞0②①②相加得：2a＞0∴a＞020．（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，解得：x1=1，x2=m+3．当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．21．解：（1）将A，C代入得：，解得：，则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，当m=2时，S△BCD取得最大值4，13此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．