搜索
15.3用待定系数法确定二次函数表达式知|识|目|标1．通过类比用待定系数法求一次函数表达式的过程，会利用待定系数法求二次函数的表达式．2．能根据已知点的特点，熟练选用适当的方法求二次函数的表达式．目标一会利用待定系数法求二次函数一般式例1教材补充例题已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标．【归纳总结】确定二次函数一般式的“四步法”(1)设：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；(2)列：根据题意列方程组；(3)解：解方程组；(4)定：确定二次函数表达式．目标二会用适当的方法求二次函数的表达式例2教材补充例题已知二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点M(2，0)，求这个函数的表达式．【归纳总结】确定二次函数表达式的三种方法表达式类型书写形式适用情况一般式y＝ax2＋bx＋c已知图像上三个任意点的坐标顶点式y＝ax2已知顶点的坐标为(0，0)，又知图像上的另一个任意点的坐标y＝ax2＋k已知顶点的坐标为(0，k)，又知图像上的另一个任意点的坐标y＝a(x＋h)2已知顶点的坐标为(－h，0)，又知图像上的另一个任意点的坐标y＝a(x＋h)2＋k已知顶点的坐标为(－h，k)，又知图像上的另一个任意点的坐标交点式y＝a(x－x1)·(x－x2)已知图像与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，又知图像上的另一个任意点的坐标知识点一用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤(1)设二次函数的表达式；(2)列方程组求待定系数；(3)解方程组，求出待定系数；(4)2还原．知识点二二次函数表达式有三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a≠0，a，b，c为常数)；(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，a，h，k为常数，(－h，k)为顶点坐标)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，a，x1，x2为常数，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)．已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且经过点(1，0)，求抛物线的表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，①∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－3，②即y＝x2＋4x＋1.③以上解答从第________步开始出现错误，错误的原因是不能设二次项系数是________，正确答案是________________．3详解详析【目标突破】例1解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴－9＋3b＋c＝0，－1－b＋c＝0，解得b＝2，c＝3，∴y＝－x2＋2x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．[备选例题]已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图像经过点(－2，4)，(－1，0)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求该函数图像的对称轴；(3)当－1≤x≤2时，求y的取值范围．[解析](1)将点(－2，4)，(－1，0)分别代入二次函数的表达式，利用待定系数法求该二次函数的表达式即可．(2)化成顶点式即可求得；(3)求得抛物线与x轴的另一个交点，根据二次函数的性质即可求得．解：(1)根据题意，得4a－2b－2＝4，a－b－2＝0，解得a＝1，b＝－1，∴该二次函数的表达式为y＝x2－x－2.(2)∵y＝x2－x－2＝(x－12)2－94，∴函数图像的对称轴为直线x＝12.(3)∵y＝x2－x－2＝(x－12)2－94，∴二次函数y＝x2－x－2的图像的顶点坐标为(12，－94)，∴二次函数的最小值为－94.设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(m，0)，∴x＝－1＋m2＝12，解得m＝2，∴另一个交点坐标为(2，0)，∴当－1≤x≤2时，－94≤y≤0.例2[解析]此题已知图像上两点，如果用一般式，似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组．4解：解法一：设这个函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.根据题意，得a＋b＋c＝－3，4a＋2b＋c＝0，－b2a＝1，解得a＝3，b＝－6，c＝0.∴这个函数的表达式为y＝3x2－6x.解法二：设这个函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.根据题意，得4a＋2b＋c＝0，①－b2a＝1，②4ac－b24a＝－3，③由②，得b＝－2a.④把④代入③，得4ac－4a24a＝－3，即c－a＝－3.把④代入①，得c＝0，∴a＝3，b＝－6.∴这个函数的表达式为y＝3x2－6x.解法三：∵二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，∴设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.又∵图像经过点M(2，0)，∴0＝(2－1)2a－3，解得a＝3，∴这个函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.解法四：设这个二次函数的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(2，0)，对称轴是直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(0，0)，∴x1＝0，x2＝2，∴y＝a(x－0)(x－2)＝ax(x－2)．又∵抛物线的顶点坐标为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，解得a＝3，∴这个函数的表达式为y＝3x(x－2)，即y＝3x2－6x.【总结反思】5[反思]②1y＝13x2＋43x－53