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1第2课时利用二次函数解决几何图形面积最值问题知|识|目|标经历利用二次函数的有关性质解决实际问题的过程，会利用二次函数解决几何面积的最值问题．目标会利用二次函数解决面积最值问题例1教材补充例题将一根长为100cm的铁丝围成一个矩形框，要想使铁丝框的面积最大，应怎样围？【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤(1)分析题中的变量与常量．(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型．(3)结合函数图像及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．例2教材“复习巩固”第15题针对训练如图5－5－2，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止运动，设经过ts时，△PBQ的面积为Scm2.(1)求S与t之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；(2)当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？图5－5－2【归纳总结】几何问题中应用二次函数时的三个注意点(1)点在线段上的取值范围．(2)顶点的横坐标、纵坐标必须符合实际意义．(3)自变量和函数值的单位．知识点建立函数模型，解决图形中的最值问题2利用二次函数解决几何图形面积最值问题的一般步骤：(1)列：分析几何图形的特点，设出自变量x，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数表达式；(2)求：利用公式法或配方法求出其最大(小)值；(3)写：结合相关问题写出结果．如图5－5－3，利用一面墙，其他三边用80m长的篱笆围一块矩形场地，墙长为30m，求围成矩形场地的最大面积．图5－5－3解：设矩形场地的面积为Sm2，所围矩形ABCD的边BC为xm.由题意，得S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800，∴当x＝40时，S最大＝800，符合题意，∴当所围矩形ABCD的边BC为40m时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m2.你认为上述解答有问题吗？若有问题，请说明理由，并给出正确的解答过程．3详解详析【目标突破】例1解：设矩形框的一边长为xcm，则与其相邻的另一边长为(50－x)cm，矩形的面积是ycm2，那么y＝(50－x)x＝－x2＋50x＝－(x－25)2＋625.∵a＝－1＜0，∴当x＝25时，y有最大值，则50－x＝50－25＝25，即要使铁丝框的面积最大，应将其围成边长为25cm的正方形．[备选例题]某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两名学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)由AB＝x米，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米．(2)小英的说法正确．理由：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648.∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x＝18时，S取得最大值，此时x≠72－2x，∴面积最大时的图形不是正方形．例2解：(1)经过ts时，AP＝tcm，故PB＝(6－t)cm，BQ＝2tcm，故S＝12·(6－t)·2t＝－t2＋6t.(2)∵S＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，∴当t＝3时，S的值最大，最大值为9.【总结反思】[反思]上述解答有问题，解答有关二次函数的实际问题时未考虑自变量的取值范围，墙长30m＜40m，故x＝40时矩形ABCD的面积最大是不正确的．正解：设矩形场地的面积为Sm2，所围矩形ABCD的边BC长为xm．由题意，得4S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800.因为墙长为30m，所以0x≤30.又因为当x＜40时，S随x的增大而增大，所以当x＝30时，S取得符合实际意义的最大值，此时S＝750.故围成矩形场地的最大面积为750m2.