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111.3多边形及其内角和学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．若多边形的一个外角是30°，则该正多边形的边数是（）A．6B．12C．16D．182．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n•90°，则n=（）A．5B．6C．7D．84．在四边形的内角中，直角最多可以有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°6．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（）A．50°B．55°C．60°D．65°7．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形8．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）2A．9B．10C．11D．以上都有可能9．如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．360°B．260°C．180°D．140°10．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变11．下列说法正确的是（）A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B．四条边相等的四边形是正方形C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形12．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED∥AB，则∠1的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°二．填空题（共6小题）13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．14．如图，在“鱼形”图案中，已知∠EOD=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．315．如果一个正多边形的内角是140°，则它是边形．16．四边形ABCD中，∠D=80°，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：5：6，则其中的最大角为，它的度数是°．17．一块四边形绿化园地，四角向外都做有半径为6的扇形喷水池（阴影部分），则这四个喷水池面积和为（结果保留π）．18．已知一个n边形，除去一个内角α外，其余内角和等于1500°，则这个内角α=°．三．解答题（共4小题）19．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=100°，∠BCD=70°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求∠B的度数．421．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=50°，则∠BPC=°；（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系．（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α．①写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）22．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？5已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．6参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为360÷30=12，则正多边形的边数为12．故选：B．2．解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选：D．3．解：连接BE，GE．∵∠1是△ADH的外角，∴∠1=∠A+∠D，∵∠2是△JHG的外角，∴∠1+∠G=∠2，∴在四边形BEFJ中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF=360°…①，在△BCE中，∠EBC+∠C+∠BEC=180°…②，①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC=360°+180°=540°，7即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°，∴n==6．∴n=6．故选：B．4．解：∵四边形的内角和为360°，又∵360°÷90°=4，∴在四边形的内角中，直角最多可以有4个．故选：D．5．解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°；故选：D．6．解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠ECD+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°．故选：C．87．解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选：B．8．解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°=1440°，解得n=10，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是9或10或11．故选：D．9．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=80°+180°=260°．故选：B．10．解：∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选：D．911．解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选：D．12．解：如图，由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=225°，∴∠5=135°，∴∠AED=45°，又∵ED∥AB，∴∠1=∠AED=45°，故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．14．解：根据三角形内角和等于180°，五边形内角和等于540°得，10∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣∠EOD﹣∠FOC．又∵∠EOD=65°，∠FOC=∠EOD∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣65°﹣65°=590°．故答案为：590°．15．解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得（n﹣2）×180°=n×140°．解得n=9，故答案为：9．16．解：设∠A=3x，则∠B=25x，∠C=6x因为四边形ABCD的内角和为360°，∠D=80°，即：3x+5x+6x=360°﹣80°x=20°，∴∠C=6x=120°所以其中的最大角为∠C，它的度数是120°．故答案为：∠C，120．17．解：∵四边形的内角和等于360°，∴这四个喷水池的面积为：4×π×62﹣=108π．故答案为：108π；18．解：∵1500°÷180°=8…60°，∴去掉的内角为180°﹣60°=120°，故答案为：120．11三．解答题（共4小题）19．解：设内角为x，则外角为x，由题意得，x+x=180°，解得，x=120°，x=60°，这个多边形的边数为：=6，答：这个多边形是六边形；（2）设内角为x，则外角为x，由题意得，x+x=180°，解得，x=120°，答：这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（5﹣2）×180°=540°．20．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°，在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．21．解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∵BP、CP是角平分线，12∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，∴∠PBC+∠BCP=65°，∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠BPC=115°．（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°﹣∠A），在△PBC中，∠P=180°﹣（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．（3）如图3，①延长BA、CD于Q，则∠P=90°﹣∠Q，∴∠Q=180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠P=360°﹣2∠P，∴∠P=180°﹣α；②当0＜α＜180时，△BPC是钝角三角形，当α=180时，△BPC是直角三角形，当α＞180时，△BPC是鋭角三角形．故答案为：115；∠BPC=90°﹣∠A．1322．解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣（∠ADC+∠ACD）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣（∠ADC+∠BCD）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠B）．