教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何专题研究1曲线与方程

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究一曲线与方程高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：直译法：设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OP，OC中点为M(12，0)，则|MP|＝12|OC|＝12，得方程(x－12)2＋y2＝14，考虑轨迹的范围知0x≤1.方法二：定义法：∵∠OPC＝90°，∴动点P在以M(12，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再利用圆的方程得解．高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：相关点法：设Q(x1，y1)，则x＝x12，y＝y12⇒x1＝2x，y1＝2y.又∵(x1－1)2＋y21＝1，∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0x≤1)．方法四：参数法：设动弦PQ的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0，∴x＝x1＋x22＝11＋k2，y＝kx＝k1＋k2消去k即可．高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法五：(参数法)设Q点坐标为(1＋cosθ，sinθ)，∴P(x，y)的坐标为x＝1＋cosθ2，y＝sinθ2，消θ即可．【答案】(x－12)2＋y2＝14(0x≤1)高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．【解析】如下图，由切线性质，得思考题1高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原点建立坐标系得P点轨迹方程为x281＋y272＝1(y≠0)．【答案】x281＋y272＝1(y≠0)高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设动直线l垂直x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足PA→·PB→＝1的点，求点P的轨迹方程．【解析】A，B两点的坐标分别为Ax，4－x22，Bx，－4－x22.设P(x，y)，则PA→＝0，4－x22－y，PB→＝0，－4－x22－y.由PA→·PB→＝1，得x2＋2y2＝6(－2x2)．【答案】x2＋2y2＝6(－2x2)高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．【解析】以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线建系，则A(0，b)．设外心M(x，y)，则MN是BC的垂直平分线，N为垂足．∴|MA|＝|MB|.【答案】x2－2by＋b2－a2＝0∴|MA|＝x2＋y－b2，|MB|＝|MN|2＋|BN|2＝a2＋y2.所以x2－2by＋b2－a2＝0.高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程．【答案】y2＝－2x2＋x【解析】相关点法：设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q－12，y1，F12，0.OP的方程为y＝y1x1x.FQ的方程为y＝－y1x－12.联立得x1＝2x1－2x，y1＝2y1－2x代入抛物线方程可得y2＝－2x2＋x.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的，如本题中P是主动点，R是次动点．(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律．高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F.(1)点A，P满足＝－2.当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在异于原点的点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．思考题2【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，则AP→＝(x－xA，y－yA)．因为F的坐标为(1,0)，所以FA→＝(xA－1，yA)．高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由AP→＝－2FA→，得(x－xA，y－yA)＝－2(xA－1，yA)，即x－xA＝－2xA－1，y－yA＝－2yA，解得xA＝2－x，yA＝－y.代入y2＝4x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8－4x.(2)假设存在这样的点Q，其坐标为(t,0)，点Q关于直线y＝2x的对称点Q′(x，y)，则yx－t＝－12，y2＝x＋t，解得x＝－35t，y＝45t.高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由Q′在抛物线C上，将Q′的坐标代入y2＝4x，得4t2＋15t＝0，即t＝0或t＝－154.所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0,0)或(－154，0)．点(0,0)不符合题意．∴Q(－154，0)．【答案】(1)y2＝8－4x(2)存在，Q(－154，0)高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例3过点M(－2,0)作直线l交双曲线x2－y2＝1于A，B两点，已知OP→＝OA→＋OB→.求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解析】(参数法)：设l的方程为y＝k(x＋2)，代入方程x2－y2＝1，得(1－k2)x2－4k2x－4k2－1＝0.当k≠±1时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21－k2，x1x2＝4k2＋1k2－1，①高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2)＋4k＝k·4k21－k2＋4k＝4k1－k2.设P(x，y)，由OP→＝OA→＋OB→，得(x，y)＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(4k21－k2，4k1－k2)．∴x＝4k21－k2，②y＝4k1－k2.③高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习②÷③，得xy＝k.④将④代入③，得y＝4xy1－xy2，化简，得x2－y2＋4x＝0，即(x＋2)2－y2＝4.⑤当斜率不存在时，易知P(－4,0)满足方程⑤，故所求轨迹方程为(x＋2)2－y2＝4，其轨迹为双曲线．【答案】(x＋2)2－y2＝4，轨迹为双曲线高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究3在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等．高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3设椭圆方程为x2＋y24＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，l上的动点P满足OP→＝12(OA→＋OB→)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．【解析】方法一：直线l过点M(0,1)，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组y＝kx＋1，①x2＋y24＝1②的解．高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习将①代入②并化简，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.所以x1＋x2＝－2k4＋k2，y1＋y2＝84＋k2.于是OP→＝12(OA→＋OB→)＝(x1＋x22，y1＋y22)＝(－k4＋k2，44＋k2)．高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习设点P的坐标为(x，y)，则x＝－k4＋k2，y＝44＋k2，消去参数k，得4x2＋y2－y＝0.③当直线l的斜率不存在时，A，B的中点坐标为原点(0,0)，也满足方程③.所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以x21＋y214＝1.④x22＋y224＝1.⑤④－⑤，得x21－x22＋14(y21－y22)＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋14(y1－y2)(y1＋y2)＝0.高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习当x1≠x2时，有x1＋x2＋14(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝0.⑥并且x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，y－1x＝y1－y2x1－x2，⑦将⑦代入⑥并整理，得4x2＋y2＝y.⑧当x1＝x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧.所以点P的轨迹方程为x2116＋y－12214＝1.【答案】4x2＋y2－y＝0高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】(1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式Δ＝0，建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为－1，求出点P的轨迹方程．【解析】(1)由题意知c＝5，ca＝53，所以a＝3，b2＝a2－c2＝4.故椭圆C的标准方程为x29＋y24＝1.高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设两切线分别为l1，l2，①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2)．②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3.设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－1k，故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立x29＋y24＝1，得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0.高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0.即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0.所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0.所以(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0.所以是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0(x0≠±3)的一个根，同理－1k是方程(x20－9)x2－2x0y