教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何专题研究3定值、定点与存在性问题

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究三定值、定点与存在性问题高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．题型一定点、定值问题高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42.又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简，得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋640.由求根公式，得x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2.②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1.高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0.∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0.∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0.③将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0.∴k＝－b，此时Δ0.∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．【答案】(1)y2＝8x(2)恒过定点(1,0)高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力．高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2015·山东淄博期末)已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.(1)求轨迹T的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．思考题1高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵|CC1|＝r＋1，|CC2|＝3－r，∴|CC1|＋|CC2|＝4.∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点(c＝1)，长轴长2a＝4的椭圆，∴点C的轨迹T的方程是x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.∴x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3.①高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∵以MN为直径的圆过点A，A点的坐标为(2,0)，∴AM→·AN→＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.②∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③将①③式代入②式，得7m2＋16km＋4k2＝0.∴mk＝－27或mk＝－2，且都满足Δ0.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由于直线l：y＝kx＋m与x轴的交点为(－mk，0)，当mk＝－2时，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去．∴mk＝－27，直线l：y＝k(x－27)恒过定点(27，0)．【答案】(1)x24＋y23＝1(2)(27，0)高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2(2013·安徽)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝14，解得a2＝58.故椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝2a2－1.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝y0x0＋c，直线F2P的斜率kF2P＝y0x0－c.故直线F2P的方程为y＝y0x0－c(x－c)．高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习当x＝0时，y＝cy0c－x0，即点Q坐标为(0，cy0c－x0)．因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝y0c－x0.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝y0x0＋c·y0c－x0＝－1.化简，得y20＝x20－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．【答案】(1)8x25＋8y23＝1(2)点P在定直线x＋y＝1上高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2014·江西文)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．思考题2高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．【解析】(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝y1x1x；BD的方程为x＝x2.高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习解得交点D的坐标为(x2，y1x2x1)．注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1x1x2x21＝－8y14y1＝－2.因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上．(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0，得(4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N1(2a＋a,2)，N2(－2a＋a，－2)．则|MN2|2－|MN1|2＝(2a－a)2＋42－(2a＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.【答案】(1)略(2)8高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习题型二存在性问题例3(2014·福建理)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以ba＝2，所以c2－a2a＝2，故c＝5a.从而双曲线E的离心率e＝ca＝5.高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，所以12|OC|·|AB|＝8.因此12a·4a＝8，解得a＝2.高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习此时双曲线E的方程为x24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24－y216＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24－y216＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m.依题意，得k＞2或k＜－2.则C－mk，0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由y＝kx＋m，y＝2x，得y1＝2m2－k，同理，得y2＝2m2＋k.由S△OAB＝12|OC|·|y1－y2|，得12－mk·2m2－k－2m2＋k＝8.即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．由y＝kx＋m，x24－y216＝1，得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习因为4－k2＜0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－12＜m＜12.由x＝my＋t，y＝2x，得y1＝2t1－2m.同理，得y2＝－2t1＋2m.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习由S△OAB＝12|OC|·|y1－y2|＝8，得12|t|·2t1－2m＋2t1＋2m＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由x＝my＋t，x2a2－y24a2＝1，得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0.即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4.因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：(1)同方法一．(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意，得k＞2或k＜－2.由y＝kx＋m，4x2－y2＝0，得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0.因为4－k2＜0，Δ＞0，所以x1x2＝－m24－k2.又因为△OAB的面积为8，高考调研第33页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习所以12|OA|·|OB|·sin