教辅-高考数学大二轮专题复习：解析几何之椭圆、双曲线、抛物线

专题六解析几何第二编讲专题第2讲椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线．2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线方程).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：；离心率为e＝ca＝1－b2a2；②在双曲线中：；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.□01a2＝b2＋c2□02c2＝a2＋b2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为；焦点坐标F1，F2；②双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为，焦点坐标F1，F2．□03y＝±bax□04(－c，0)□05(c，0)□06y＝±abx□07(0，－c)□08(0，c)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝±2px(p0)的焦点坐标为，准线方程为；②抛物线x2＝±2py(p0)的焦点坐标为，准线方程为．□09±p2，0□10x＝∓p2□110，±p2□12y＝∓p2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．弦长问题(1)弦长公式设直线的斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝．□01x1＋x2＋p2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1圆锥曲线的定义和标准方程例1(1)(2020·河南一模)已知P为圆C：(x－5)2＋y2＝36上任意一点，A(－5，0)，若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为()A．x29＋y216＝1B．x29－y216＝1C．x29＋y216＝1(x0)D．x29－y216＝1(x0)答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|＝|PQ|，又||QA|－|QC||＝|PC|＝6|AC|＝10，满足双曲线的定义且a＝3，c＝5，∴b＝4，∴Q点的轨迹方程为x29－y216＝1.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝92xD．y2＝9x答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在Rt△ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.∵BD∥FG，∴1p＝23，解得p＝32，∴抛物线的方程为y2＝3x.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(2020·山东省青岛市高三三模)若方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为．答案0，12解析由题可知，方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得1－mm0，解得0m12，所以实数m的取值范围为0，12.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题.(4)圆锥曲线基本问题考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·山东省淄博市二模)当α∈π3，5π6时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是()A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析当α∈π3，π2时，0cosαsinα1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线为椭圆；当α＝π2时，方程为y2＝1，即y＝±1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示两条直线；当α∈π2，5π6时，cosα0sinα，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线为双曲线．综上所述，当α∈π3，5π6时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是圆．故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为()A．6－3B．2－1C．3－2D．2－2答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝2t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t，2t＋2t＝4a，则t＝22－2a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2，4(6－42)a2＋(12－82)a2＝4c2，化为c2＝(9－62)a2，可得e＝ca＝6－3.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋155C．4＋155D．22＋1答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图所示，设双曲线的右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最小值为2a＋1＝22＋1.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2圆锥曲线的几何性质例2(1)(2020·山东省潍坊市二模)以抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B．x2＋(y＋1)2＝4C．(x＋1)2＋y2＝4D．x2＋(y－1)2＝4答案D解析抛物线E：x2＝4y的焦点为(0，1)，准线方程为y＝－1，圆与E的准线相切，则圆的半径r＝2，故圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±22x答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝3a，∴b＝c2－a2＝2a.∴ba＝2，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(多选)(2020·山东省潍坊市三模)已知椭圆C：x2a＋y2b＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12D．若PF1→＝F1Q→，则椭圆C的长轴长为5＋17答案ACD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为|F1F2|＝2，所以F2(1，0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|≥2a－|PF2|＝2a－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，12＋111，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1a＋1b1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以1a＋1a－11，即a2－3a＋10，解得a3＋52＝6＋254＝（1＋5）24，所以a1＋52，所以e＝1a5－12，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12，故C正确；若PF1→＝F1Q→，则F1是线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以9a＋1b＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝11＋852＝22＋2854＝（5＋17）24，所以a＝5＋172，所以椭圆C的长轴长为5＋17，故D正确．故选ACD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用渐近线的斜率k求离心率e，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e2＝1＋k2.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|＝2|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的短轴的长为()A．5B．25C．10D．5答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵AF2⊥x轴，直线l在y轴上的截距为1，∴A(c，2)，又|AF1|＝2|F1B|，∴B(－2c，－1)，则c2a2＋4b2＝1，4c2a2＋1b2＝1，∴16b2－1b2＝3，即b2＝5，∴b＝5，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．已知F是双