教辅-高考数学大二轮专题复习：解析几何之直线与圆

专题六解析几何第二编讲专题第1讲直线与圆「考情研析」1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题．2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长的有关的问题．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.直线的斜率直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝＝．□01y2－y1x2－x1□02tanα核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．直线的两种位置关系直线l1y＝k1x＋b1A1x＋B1y＋C1＝0直线l2y＝k2x＋b2A2x＋B2y＋C2＝0直线平行或重合的充要条件直线垂直的充要条件□01k1＝k2□02A1B2－A2B1＝0□03k1k2＝－1□04A1A2＋B1B2＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．三种距离公式(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝．(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则两平行线的距离d＝．□01（x2－x1）2＋（y2－y1）2□02|Ax0＋By0＋C|A2＋B2□03|C2－C1|A2＋B2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业4．圆的方程(1)标准方程：．(2)一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是，其中圆心坐标是，半径r＝．5．直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.d与r的关系直线与圆的关系drd＝rdr□01(x－a)2＋(y－b)2＝r2□02D2＋E2－4F0□03－D2，－E2□04D2＋E2－4F2□01相离□02相切□03相交核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业6．两圆的位置关系设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系|O1O2||r1－r2||O1O2|＝|r1－r2||r1－r2||O1O2|r1＋r2|O1O2|＝r1＋r2|O1O2|r1＋r2□01内含□02内切□03相交□04外切□05外离2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1直线的方程及其应用例1(1)(2020·广东省深圳市一模)已知直线l经过A(1，3)和B(－1，－1)两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转π4后到达直线l′的位置，则l′的方程为()A．x－y＋2＝0B．3x＋y－6＝0C．2x－y＋5＝0D．3x＋y＋4＝0答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵直线l经过A(1，3)和B(－1，－1)两点，∴直线l的斜率为kAB＝－1－3－1－1＝2，将直线l绕点A按逆时针方向旋转π4后到达直线l′的位置，设l′的斜率为k，则tanπ4＝k－21＋2k，解得k＝－3，∴l′的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省青岛市模拟)若直线l1：a2x－3y＋2＝0，l2：2ax＋5y－a＝0.p：a＝0，q：l1与l2平行，则下列选项中正确的是()A．p是q的必要非充分条件B．q是p的充分非必要条件C．p是q的充分非必要条件D．q是p的非充分也非必要条件答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵p：a＝0⇒q：l1与l2平行，q：l1与l2平行⇒2aa2＝5－3≠－a2或a＝0，即a＝－65或a＝0.∴p是q的充分非必要条件，故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件.(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·山东省潍坊市模拟)已知直线l1：x·sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝()A．23B．±35C．－35D．35答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝35.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1答案D解析①当a＝0时，y＝2不符合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，解得a＝1或a＝－2.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2圆的方程及其应用例2(1)(2020·广东省惠州市三模)已知圆C：x2＋y2＋4x＋a＝0上存在两点关于直线l：y＝kx＋2对称，则k＝()A．1B．－1C．0D．12答案A解析若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，∴直线l经过点(－2，0)，∴－2k＋2＝0，解得k＝1.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A．150°B．135°C．120°D．不存在答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由y＝2－x2，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图形如图所示．设过点P(2，0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝|2k|1＋k2，因为S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB，所以当∠AOB＝π2时，S△AOB取最大值，此时圆心O到直线l的距离为1，由|2k|1＋k2＝1，得k＝－33k＝33舍去，故直线l的倾斜角为150°.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．(2)方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0(AB≠0)表示圆的充要条件是A＝B≠0且D2＋E2－4AF0.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝4B．(x－2)2＋(y－2)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－3)2＝4答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，设其关于y＝33x对称的点为(x，y)，则y2＝33·2＋x2，yx－2·33＝－1，解得x＝1，y＝3，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·北京市一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵圆C的圆心在直线y＝2x上，∴可设C(a，2a)，∵圆C与x轴正半轴相切于点A，∴a0且圆C的半径r＝2a，A(a，0).∵A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，∴d＝|a－0－4|1＋1＝2，解得a＝6或a＝2，∴A(2，0)或A(6，0)，∵A在直线x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3直线与圆、圆与圆的位置关系例3(1)(多选)(2020·山东省德州市二模)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6B．8C．12D．16答案BC核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3，3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为（－3－0）2＋（－1－3）2＝5.又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为262－52＝211.又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值为直径12，故AB∈[211，12].故选BC.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·广东省汕头市二模)圆x2＋y2＝m2(m＞0)内切于圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0，则m＝．答案1解析圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0，即(x＋3)2＋(y－4)2＝36，表示以(－3，4)为圆心，半径等于6的圆．再由圆x2＋y2＝m2(m＞0)内切于圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0，得两圆的圆心距等于半径之差，即（－3－0）2＋（4－0）2＝6－m，解得m＝1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解．(2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解．(3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2.x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1.两圆的圆心距为4，两圆的半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·山东省烟台市模拟)已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A．3B．23C．2D．4答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4，3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝|PC|2－4，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝9＋16－1＝4，则|PQ|的最小值为16－4＝12＝23.故选B.3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．2C．3D．2答案B解析由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝2.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．55B．255C．355D．455答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由于圆上的点(2，1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5).点(1，1)，(5，5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝25＝255，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为25