教辅-高考数学大二轮专题复习：解析几何之圆锥曲线的综合问题

专题六解析几何第二编讲专题第3讲圆锥曲线的综合问题「考情研析」1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数的性质、基本不等式等知识求解其最值．2．范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”．不等式的来源可以是Δ0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.4．定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．5．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1最值与范围问题角度1最值问题例1(2020·山东省烟台市高考适应性练习)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，△AOB的面积为82.(1)求抛物线C的方程；解(1)由已知，得直线AB的方程为y＝x－p2，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立y2＝2px，y＝x－p2，可得y2－2py－p2＝0，显然Δ0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业则yA＋yB＝2p，yAyB＝－p2.于是|yA－yB|＝（yA＋yB）2－4yAyB＝4p2＋4p2＝22p.S△AOB＝12×p2×|yA－yB|＝22p2＝82，所以p＝4.故抛物线C的方程为y2＝8x.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求△PMN面积S的最小值．解(2)设P(x0，y0)(y00)，My218，y1，Ny228，y2，切线l的方程为x－x0＝t(y－y0)，则有FM→＝y218－2，y1，FP→＝y208－2，y0，由M，F，P三点共线，可知FM→∥FP→，即y218－2y0－y208－2y1＝0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业因为y0≠y1，化简可得y0y1＝－16.由x－x0＝t（y－y0），y2＝8x，可得y2－8ty＋8ty0－8x0＝0，因为直线l与抛物线相切，故Δ＝64t2－32ty0＋4y20＝0，故t＝y04.所以直线PN的方程为y－y0＝－y04(x－x0)，即y0x＋4y－4y0－y308＝0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业点M到直线PN的距离为d＝y21y08＋4y1－4y0－y308y20＋16，将y1＝－16y0代入可得，d＝32y0＋4y0＋y308y20＋16＝（y20＋16）28|y0|y20＋16.联立y0x＋4y－4y0－y308＝0，y2＝8x，消去x可得，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业y0y2＋32y－y30－32y0＝0，所以y0＋y2＝－32y0，y2＝－32y0－y0.|PN|＝1＋16y20|y0－y2|＝1＋16y202y0＋32y0＝2（y20＋16）y20＋16y20，故S＝12d|PN|＝12×（y20＋16）28|y0|y20＋16×2（y20＋16）y20＋16y20＝18y20＋16y03＝18y0＋16y03≥182y0×16y03＝64，当且仅当y0＝4时，“＝”成立，此时，△PMN面积S的最小值为64.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·山东省日照市高三6月校际联合联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，A为抛物线上异于原点的任意一点，以AO为直径作圆Ω，当直线OA的斜率为1时，|OA|＝42.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)求抛物线C的标准方程；解(1)当kOA＝1时，可得A(2p，2p)，∵|OA|＝42＝4p2＋4p2＝22p，∴p＝2，∴抛物线C的标准方程为y2＝4x.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)过焦点F作OA的垂线l与圆Ω的一个交点为M，l交抛物线于P，Q两点(点M在P，Q之间)，记△OAM的面积为S，求S2＋32|PQ|的最小值．解(2)设A(x1，y1)，M(x0，y0)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，根据题意有OA→·FM→＝0⇒x1x0＋y1y0－x1＝0，OM→·AM→＝0⇒x20－x1x0＋y20－y1y0＝0，即x20＋y20＝x1，又|AM|2＝|OA|2－|OM|2＝x21＋y21－(x20＋y20)＝x21＋y21－x1＝x21＋3x1，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴S＝12|AM|·|OM|＝12x21＋3x1·x20＋y20⇒S2＝14x1(x21＋3x1)，由题意可知，直线PQ的斜率一定存在且不为0，设lPQ：x＝ny＋1，∴x＝ny＋1，y2＝4x⇒y2－4ny－4＝0，∴y2＋y3＝4n，y2y3＝－4，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴|PQ|＝1＋n2|y2－y3|＝1＋n2·（y2＋y3）2－4y2y3＝4(1＋n2)，∵PQ⊥OA，∴kPQ·y1x1＝－1⇒n＝－y1x1⇒|PQ|＝4(1＋n2)＝41＋4x1，∴S2＋32|PQ|＝14x1(x21＋3x1)＋61＋4x1，令f(x)＝14x(x2＋3x)＋61＋4x⇒f′(x)＝34·x4＋2x3－32x2，令g(x)＝x4＋2x3－32，则g(x)在x0时单调递增，又g(2)＝0，∴当x∈(0，2)时，g(x)0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业x∈(2，＋∞)时，g(x)0，即当x∈(0，2)时，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．∴当x＝2时，f(x)min＝23.即S2＋32|PQ|的最小值为23.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业角度2范围问题例2(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为32，过抛物线C2：x2＝4by的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，当|MF|＝74时，M点在x轴上的射影为F1.连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN和S△OAB，设λ＝S△OMNS△OAB.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；解(1)由抛物线定义可得M－c，74－b，∵点M在抛物线x2＝4by上，∴c2＝4b74－b，即c2＝7b－4b2，①又由ca＝32，得c2＝3b2，将上式代入①，得7b2＝7b，解得b＝1，∴c＝3，∴a＝2，∴椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，抛物线C2的方程为x2＝4y.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)求λ的取值范围．解(2)设直线MN的方程为y＝kx＋1，由y＝kx＋1，x2＝4y，消去y整理，得x2－4kx－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4，设kON＝m，kOM＝m′，则mm′＝y2x2·y1x1＝116x1x2＝－14，∴m′＝－14m，②核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业设直线ON的方程为y＝mx(m0)，由y＝mx，x2＝4y，解得x2＝4m，∴|ON|＝1＋m2|x2|＝4m1＋m2，由②可知，用－14m代替m，可得x1＝－1m，∴|OM|＝1＋－14m2|x1|＝1m1＋116m2.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由y＝mx，x24＋y2＝1，解得xA＝24m2＋1，所以|OA|＝1＋m2|xA|＝21＋m24m2＋1，用－14m代替m，可得xB＝214m2＋1，∴|OB|＝1＋116m2|xB|＝21＋116m214m2＋1，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴λ＝S△OMNS△OAB＝12|ON|·|OM|sin∠MON12|OA|·|OB|sin∠AOB＝|ON|·|OM||OA|·|OB|＝4m1＋m2·1m1＋116m221＋m24m2＋1·21＋116m214m2＋1＝4m2＋1·14m2＋1核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业＝4m2＋2＋14m2＝2m＋12m≥2，当且仅当m＝12时等号成立．∴λ的取值范围为[2，＋∞).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·山东省潍坊市三模)设抛物线E：x2＝2py(p0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1，1).(1)求抛物线E的标准方程；解(1)依题意，得F0，p2，设A(x0，y0)，由AF的中点坐标为(1，1)，得1＝x02，1＝y0＋p22，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业即x0＝2，y0＝2－p2，所以4＝2p2－p2，得p2－4p＋4＝0，即p＝2，所以抛物线E的标准方程为x2＝4y.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围．解(2)由题意知A(2，1)，设Bx1，x214，Cx，x24，则kBA＝x214－1x1－2＝14(x1＋2)，因为x1≠－2，所以kBC＝－4x1＋2，故BC所在直线方程为y－x214＝－4x1＋2(x－x1).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业联立y－x214＝－4x1＋2（x－x1），x2＝4y，因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0，即x21＋(x＋2)x1＋2x＋16＝0，因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0，即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6.经检验，当x＝－6时，不满足题意．所以点C的横坐标的取值范围是x≥10或x－6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2定点与定值问题角度1定点问题例3(2020·中国人民大学附中模拟)已知椭圆C：x2a2＋