教辅-高考数学大二轮专题复习：立体几何与空间向量之立体几何中的向量方法

专题五立体几何与空间向量第二编讲专题第3讲立体几何中的向量方法「考情研析」以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为线面角、二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4).(1)l∥m⇒a∥b⇔a＝kb⇔；(2)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝⇔；(3)l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝⇔；(4)l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔；(5)α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔；(6)α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝⇔．□01a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2□020□03a1a2＋b1b2＋c1c2＝0□040□05a1a3＋b1b3＋c1c3＝0□06a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3□07a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4□080□09a3a4＋b3b4＋c3c4＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝．(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝．□01|a·b||a||b|□02|l·n||l||n|核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)二面角①如图(Ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝；②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝．□03〈AB→，CD→〉□04－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1利用向量证明平行与垂直例1(1)(多选)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝23，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是()A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQB．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQC．当AR⊥A1C时，AR⊥D1RD．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1答案ABD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图所示，建立空间直角坐标系，设P(2，a,0)，a∈[0,23]，Q(2,23，b)，b∈[0,2]，设A1R→＝λA1C→，得到R(2－2λ，23λ，2－2λ)，λ∈[0,1].D1P→＝(2，a，－2)，CQ→＝(2,0，b)，D1P→·CQ→＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；D1R→＝(2－2λ，23λ，－2λ)，D1R→·CQ→＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝22＋b时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，则AR→·A1C→＝(－2λ，23λ，2－2λ)·(－2，23，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，解得λ＝15，此时AR→·D1R→＝核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业－25，235，85·85，235，－25＝－45≠0，C错误；由A1C＝3A1R，则R43，233，43，D1R→＝43，233，－23，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BD→＝0，n·DC1→＝0，解得n＝(3，－1，3)，故D1R→·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确．故选ABD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点.①设F是棱AB的中点，证明：直线E1E∥平面FCC1；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业证明如图，过点D作AB的垂线交AB于点G，则以点D为原点，DG，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易得A(3，－1，0)，B(3，3，0)，C(0，2，0)，E1(3，－1，1)，E32，－12，0，F(3，1，0)，D1(0，0，2)，B1(3，3，2)，C1(0，2，2).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业①CC1→＝(0,0,2)，CF→＝(3，－1,0)．设平面FCC1的法向量n1＝(x，y，z)，则2z＝0，3x－y＝0，令x＝1，得n1＝(1，3，0)，又E1E→＝－32，12，－1，故E1E→·n1＝0，又E1E⊄平面FCC1，所以E1E∥平面FCC1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业②证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明②D1A→＝(3，－1，－2)，D1C→＝(0,2，－2)，设平面D1AC的法向量n2＝(a，b，c)，由n2·D1A→＝0，n2·D1C→＝0，得3a－b－2c＝0，2b－2c＝0，令b＝1，得n2＝(3，1,1)．同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3＝(1，－3，0)，因为n2·n3＝0，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(1)向量BE→＝(0，1，1)，DC→＝(2，0，0)，故BE→·DC→＝0.所以BE⊥DC.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)BE∥平面PAD；证明(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而BE→·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE→⊥AB→，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)平面PCD⊥平面PAD.证明(3)由(2)知平面PAD的一个法向量AB→＝(1，0，0)，向量PD→＝(0，2，－2)，DC→＝(2，0，0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·DC→＝0，即2y－2z＝0，2x＝0，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.则n·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥AB→.所以平面PCD⊥平面PAD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2利用空间向量求空间角角度1利用空间向量求异面直线所成的角例2(2020·山东省济南市高三6月模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝12BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为CE︵的中点．(1)求证：BM⊥DF；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解(1)证法一：如图，连接CE，设CE与BM交于点N，根据题意，知该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交，故C，D，F，E四点共面，因为平面ADF∥平面BCE，所以CE∥DF，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业因为M为CE︵的中点，所以∠CBM＝∠EBM.又BC＝BE，所以N为CE的中点，BN⊥CE，即BM⊥CE，所以BM⊥DF.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业证法二：如图，以点B为坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则AD＝AF＝1，BC＝BE＝2，所以B(0，0，0)，M(2，2，0)，D(0，1，1)，F(1，0，1)，所以BM→＝(2，2，0)，DF→＝(1，－1，0)，所以BM→·DF→＝2－2＝0，所以BM⊥DF.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．解(2)解法一：如图，连接DB，DN，由(1)知，DF∥EN且DF＝EN，所以四边形ENDF为平行四边形，所以EF∥DN，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以∠BND为异面直线BM与EF所成的角，设AB＝1，则BD＝DN＝BN＝2，所以△BND为等边三角形，所以∠BND＝60°，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60°.解法二：如图，以点B为坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则AD＝AF＝1，BE＝2，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以B(0，0，0)，M(2，2，0)，E(2，0，0)，F(1，0，1)，所以BM→＝(2，2，0)，EF→＝(－1，0，1)，所以cos〈BM→，EF→〉＝BM→·EF→|BM→||EF→|＝－22×2＝－12，所以异面直线BM与EF所成角的大小是60°.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业角度2利用空间向量求线面角例3(2020·山东省实验中学高考预测卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解(1)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，由题意，得FQ∥CD且FQ＝12CD，又AE∥CD且AE＝12CD，故AE∥FQ且AE＝FQ.所以四边形AEQF为平行四边形．所以AF∥EQ，又EQ⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)当二面角D－FC－B的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．解(2)如图，连接BD，DE.由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业又平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD＝a(a0)，则由题意知D(0，0，0)，F(0，0，a)，C(0，2，0)，B(3，1，0)，FC→＝(0，2，－a)，CB→＝(3，－1，0)，设平面FBC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·FC→＝2y－az＝0，m·CB→＝3x－y＝0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业令x＝1，则y＝3，z＝23a，所以取m＝1，3，23a，易知平面DFC的一个法向量为n＝(1，0，0)，因为二面角D－FC－B的余弦值为24，所以|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝14＋12a2＝24，解得a＝3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平