教辅-高考数学大二轮专题复习：数列之等差数列与等比数列

专题四数列第二编讲专题第1讲等差数列与等比数列「考情研析」1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明．2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.等差数列(1)通项公式：．(2)等差中项公式：．(3)前n项和公式：．2．等比数列(1)等比数列的通项公式：．(2)等比中项公式：．□01an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d□022an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)□03Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）d2□01an＝a1qn－1＝amqn－m□02a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)等比数列的前n项和公式：□03Sn＝na1（q＝1），a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q（q≠1）核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．等差数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)(1)若m＋n＝l＋k，则(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有．(2)若{an}，{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k，t是非零常数)是数列．(3)等差数列“依次m项的和”即Sm，，，…仍是等差数列．□01am＋an＝al＋ak□02am＋an＝2ap□03等差□04S2m－Sm，□05S3m－S2m核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(4)等差数列{an}，当项数为2n时，S偶－S奇＝，S奇S偶＝；项数为2n－1时，S奇－S偶＝＝，S奇S偶＝．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)(1)若m＋n＝l＋k，则(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有．□06nd□07anan＋1□08a中□09an□10nn－1□01am·an＝al·ak□02am·an＝a2p核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)当n为偶数时，S偶S奇＝(公比为q).(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m项的和”，即Sm，，，…(Sm≠0)成等比数列．□03q□04S2m－Sm□05S3m－S2m2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1等差数列、等比数列的运算例1(1)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于()A．－8B．－6C．10D．0答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵a1，a3，a4成等比数列，∴a23＝a1a4，∴(a1＋2×2)2＝a1·(a1＋3×2)，即2a1＝－16，解得a1＝－8.则S9＝－8×9＋9×82×2＝0，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业项和为Sn，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝()A．78B．85C．1D．95答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设{an}的公比为q(q≠0且q≠1)，根据a1，a3，a2成等差数列，得2a3＝a1`＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－1－q＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0.因为q≠1，所以q＝－12，则S2＝a1（1－q2）1－q＝34·a11－q，S3＝a1（1－q3）1－q＝98·a11－q，S4＝a1（1－q4）1－q＝1516·a11－q，因为mS2，S3，S4成等比数列，所以S23＝mS2·S4，即98·a11－q2＝m·34·a11－q·1516·a11－q，因为a1≠0，所以a11－q≠0，所以982＝m×34×1516，得m＝95，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(多选)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是()A．a1＝22B．d＝－2C．当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值D．当Sn＞0时，n的最大值为20答案BCD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，由S6＝90，可得6a1＋15d＝90，即2a1＋5d＝30，①由a7是a3与a9的等比中项，可得a27＝a3a9，即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，化为a1＋10d＝0，②由①②解得a1＝20，d＝－2，则an＝20－2(n－1)＝22－2n，Sn＝12n(20＋22－2n)＝21n－n2，由Sn＝－n－2122＋4414，可得n＝10或n＝11时，Sn取得最大值110.由Sn＞0，可得0＜n＜21，即n的最大值为20.故选BCD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．定义：在数列{an}中，若满足an＋2an＋1－an＋1an＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则a2022a2020＝()A．4×20202－1B．4×20192－1C．4×20222－1D．4×20192答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴a3a2－a2a1＝2，∴an＋1an是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＋1an＝2n－1，∴a2022a2020＝a2022a2021·a2021a2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2等差数列、等比数列的判定与证明例2(1)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝44－an(n∈N*).求证：数列1an－2是等差数列．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业证明∵an＋1＝44－an，∴1an＋1－2－1an－2＝144－an－2－1an－2＝4－an2an－4－1an－2＝2－an2an－4＝－12为常数，又a1＝1，∴1a1－2＝－1，∴数列1an－2是以－1为首项，－12为公差的等差数列.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝n－1n（n＋1）＋1，n＝1，2，3，…，设bn＝an＋1n（n＋1），求证：数列{bn}是等比数列．证明Sn＝1－an＋n－1n（n＋1），∴Sn＋1＝1－an＋1＋n（n＋1）（n＋2），当n＝1时，易知a1＝12，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝n（n＋1）（n＋2）－an＋1－n－1n（n＋1）＋an，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴2an＋1＝n＋2－2（n＋1）（n＋2）－n－1n（n＋1）＋an＝1n＋1－2（n＋1）（n＋2）－1n＋1＋1n（n＋1）＋an，∴2an＋1＋1（n＋1）（n＋2）＝an＋1n（n＋1），bn＝an＋1n（n＋1），则bn＋1＝an＋1＋1（n＋1）（n＋2），上式可化为2bn＋1＝bn，∴{bn}是以b1＝1为首项，12为公比的等比数列，bn＝12n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{an}为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(多选)(2020·日照一中摸底考试)已知数列{an}满足：a1＝3，当n≥2时，an＝(an－1＋1＋1)2－1，则关于数列{an}，下列说法正确的是()A．a2＝8B．数列{an}为递增数列C．数列{an}为周期数列D．an＝n2＋2n答案ABD解析由an＝(an－1＋1＋1)2－1得an＋1＝(an－1＋1＋1)2，∴an＋1＝an－1＋1＋1，即数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公差为1的等差数列，∴an＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1.∴an＝n2＋2n.所以易知A，B，D正确．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．已知正项数列{an}满足a2n＋1－6a2n＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．答案3n－1解析∵a2n＋1－6a2n＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴Sn＝3n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3数列中an与Sn的关系问题例3(1)(2020·河南省高三阶段性测试)设正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(1＋an)2(n∈N*)，则a5＋a6＋a7＋a8＝()A．24B．48C．64D．72答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析当n＝1时，由S1＝a1＝（1＋a1）24，得a1＝1，当n≥2时，4Sn＝（1＋an）2，4Sn－1＝（1＋an－1）2，得4an＝(1＋an)2－(1＋an－1)2，∴a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an0，∴an－an－1＝2，∴{an}是等差数列，∴an＝2n－1，∴a5＋a6＋a7＋a8＝2(a6＋a7)＝48.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省德州市二模)给出以下三个条件：①数列{an}是首项为2，满足Sn＋1＝4Sn＋2的数列；解选①，由已知Sn＋1＝4Sn＋2，(*)当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋2，(**)(*)－(**)，得an＋1＝4(Sn－Sn－1)＝4an，即an＋1＝4an.当n＝1时，S2＝4S1＋2，即2＋a2＝4×2＋2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝22n－1.bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业cn＝n2＋nbnbn＋1＝n（n＋1）n2（n＋1）2＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业②数列{an}是首项为2，满足3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)的数列；解选②，由已知3Sn＝22n＋1＋λ，(*)当n≥2时，3Sn－1＝22n－1＋λ，(**)(*)－(**)，得3an＝22n＋1－22n－1＝3·22n－1，即an＝22n－1.当n＝1时，a1＝2满足an＝22n－1，所以an＝22n－1，下同选①.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业③数列{an}是首项为2，满足3Sn＝an＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{an}的前n项和为Sn，an与Sn满足________．记数列bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，cn＝n2＋nbnbn＋1，求