教辅-高考数学大二轮专题复习：数列之数列的综合问题

专题四数列第二编讲专题第3讲数列的综合问题「考情研析」1.从具体内容上，数列的综合问题主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式；②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业数列的综合问题(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1数列与函数的综合问题例1(1)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，函数f(x)＝x3＋an＋1－an－cosnπ3为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值是()A．20232B．1011C．1008D．336答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析函数f(x)＝x3＋an＋1－an－cosnπ3为奇函数，则f(0)＝an＋1－an－cosnπ3＝0，即an＋1－an＝cosnπ3，cosnπ3的周期为6.a2－a1＝12，a3－a2＝－12，a4－a3＝－1，a5－a4＝－12，a6－a5＝12，a7－a6＝1.∴a1＝1，∴a2＝32，a3＝1，a4＝0，a5＝－12，a6＝0，a7＝1，an以6为周期循环．故S2020＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＋a4＝20232.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·广东省汕头市三模)已知数列{an}的首项a1＝21，且满足(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋4n2－16n＋15，则{an}中最小的一项是()A．a5B．a6C．a7D．a8答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由已知得an＋12n－3＝an2n－5＋1，a12－5＝－7，所以数列an2n－5是首项为－7，公差为1的等差数列，an2n－5＝－7＋(n－1)＝n－8，则an＝(2n－5)(n－8)＝2n2－21n＋40，因为212×2＝5.25，所以{an}中最小的一项是第5项．故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业Sn是等差数列{an}的前n项和，对任意正整数n，2Sn是anan＋1与1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；解(1)设{an}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得4a1＝a1（a1＋d）＋1，4（2a1＋d）＝（a1＋d）（a1＋2d）＋1，解得a1＝1，d＝2或a1＝14，d＝－14，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业当a1＝1，d＝2时，an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，Sn＝n2满足条件；当a1＝14，d＝－14时，a3＝－14，a4＝－12，S3＝0不满足条件，舍去，综上，数列{an}的通项公式为an＝2n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)求数列an＋18－an的最大项与最小项．解(2)an＋18－an＝2n＋19－2n，记f(x)＝2x＋19－2x＝－1＋109－2x，f(x)在(－∞，4.5)与(4.5，＋∞)上都是增函数(图象如图所示)，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业对数列an＋18－an，当n≤4时，an＋18－an递增且都大于－1，当n≥5时，an＋18－an递增且都小于－1，数列an＋18－an的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为－11.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2数列与不等式的综合问题例2(1)(2020·天津市滨海新区模拟)已知b∈R，数列{an}为等比数列，a1＝1，a2＋a3＝－14，数列{an}的前n项和为Sn，若b2－b2≤S2n对于任意n∈N*恒成立，则b的取值范围为()A．－12，1B．－∞，－12∪[1，＋∞)C.1－174，1＋174D．1－174，1答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵数列{an}为等比数列，a1＝1，a2＋a3＝－14，∴q＋q2＝－14⇒q＝－12，∴S2n＝a1·（1－q2n）1－q＝1－－122n1－－12＝231－14n为单调递增数列，故其最小值为S2＝231－14＝12.∵b2－b2≤S2n对于任意n∈N*恒成立，即b2－12b≤12⇒2b2－b－1≤0⇒－12≤b≤1.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·浙江名校高考仿真卷)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝Sn＋Sn－1(n∈N*，且n≥2).①求数列{an}的通项公式；解①由an＝Sn＋Sn－1，得Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1，即Sn－Sn－1＝1(n≥2)，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，以1为公差的等差数列，所以Sn＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以an＝2n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业②证明：当n≥2时，1a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan32.解②证明：当n≥2时，1nan＝1n（2n－1）1n（2n－2）＝12×1n（n－1）＝121n－1－1n，所以1a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝32－12n32.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩.(2)注意放缩的尺度：如1n21n（n－1），1n21n2－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·广东省广州市一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，a2＋a5＝4，若Sn≥4an＋8(n∈N*)，则n的最小值为()A．8B．9C．10D．11答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设等差数列{an}的公差为d，由a1＝13，a2＋a5＝4，可得13＋d＋13＋4d＝4，解得d＝23，所以Sn＝n3＋n(n－1)×13＝n23，an＝13＋(n－1)×23＝2n－13，由Sn≥4an＋8(n∈N*)，可得n23≥8n－43＋8，可得n2－8n－20≥0，解得n≥10或n≤－2(舍去)，所以n的最小值为10.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·海南省高考第五次模拟)设M＝－3a3，N＝2a2，T＝a4，给出以下四种排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M.从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{an}中的各项都为正数，a1＝1，且________依次成等差数列．(1)求{an}的通项公式；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解选②或③，(1)设{an}的公比为q，则q＞0，由条件得2a4＝2a2－3a3，又因为a1＝1，所以2q3＝2q－3q2，即2q2＋3q－2＝0，解得q＝12(负值舍去)，所以an＝12n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解选①或④，(1)设{an}的公比为q，则q＞0.由条件得4a2＝a4－3a3，又因为a1＝1，所以4q＝q3－3q2，即q2－3q－4＝0，解得q＝4(负值舍去)，所以an＝4n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)设bn＝an，0an≤1，1an，an1，数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100bn的最小正整数n.解选②或③，(2)由题意得bn＝12n－1，则Sn＝1－12n1－12＝2n－12n－1.由Sn＞100bn得2n－12n－11002n－1，即2n＞101，又因为n∈N*，所以n的最小值为7.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解选①或④，(2)由题意得bn＝14n－1，则Sn＝1－14n1－14＝4n－13×4n－1.由Sn＞100bn得4n－13×4n－1＞1004n－1，即4n＞301，又因为n∈N*，所以n的最小值为5.3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·全国卷Ⅰ)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________．答案7核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析an＋2＋(－1)nan＝3n－1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.设数列{an}的前n项和为Sn，则S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·浙江高考)已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝bnbn＋2·cn(n∈N*).(1)若数列{bn}为等比数列，公比q＞0，且b1＋b2＝6b3，求q与{an}的通项公式；解(1)因为数列{bn}是公比为q的等比数列，b1＋b2＝6b3，所以b1＋b1q＝6b1q2，即1＋q＝6q2，因为q＞0，所以q＝12，所以bn＝12n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以bn＋2＝12n＋1，故cn＋1＝bnbn＋2·cn＝12n－112n＋1·cn＝4·cn，所以数列{cn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以cn＝4n－1.所以an－an－1＝cn－1＝4n－2(n≥2，n∈N*).所以an＝a1＋1＋4＋…＋4n－2＝1＋1－4n－11－4＝4n－1＋23(n≥2，n∈N*).a1＝1适合上式，所以an＝4n－1＋23.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1＋c2＋…＋cn＜1＋1d.解(2)证明：依题意设bn＝1＋(n－1)d＝dn＋1－d，因为cn＋1＝bnbn＋2·cn，所以cn＋1cn＝bnbn＋2，所以cncn－1＝bn－1bn＋1(n≥2，n∈N*)，故cn＝cncn－1·cn－1cn－2·…·c3c2·c2c1·c1＝bn－1bn＋1·bn－2bn·bn－3bn－1·…·b2b4·b1b3·c1核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业＝b1b2bnbn＋1＝1＋dd1bn－1b