教辅-高考数学大二轮专题复习：数学文化与创新应用之数学文化及核心素养类试题

专题八数学文化与创新应用第二编讲专题第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14（ab）2－a2＋b2－c222.根据此公式，若acosB＋(b＋3c)cosA＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A．2B．22C．6D．23答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由acosB＋(b＋3c)cosA＝0，可得sinAcosB＋cosAsinB＋3sinCcosA＝0，即sin(A＋B)＋3sinCcosA＝0，即sinC(1＋3cosA)＝0，因为sinC≠0，所以cosA＝－13，由余弦定理可得a2－b2－c2＝－2bccosA＝23bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝14（bc）2－c2＋b2－a222＝14×（32－12）＝2.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.4550.4570.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为()A．b10＝8b5B．{bn}是等比数列C．a1b30＝105D．a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝209193答案BD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，a1＝5，由题意可得30a1＋30×29d2＝390，解得d＝1629，∴an＝a1＋(n－1)d＝16n＋12929，∵bn＝2an，∴bn＋1bn＝2an＋12an＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；∵5d＝5×1629＝8029≠3，b10b5＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221105，C错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×1629＝19329，a5＝a1＋4d＝5＋4×1629＝20929，∴a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝3a53a4＝a5a4＝209193，D正确．故选BD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2ai＋1ai12＝1(i＝1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为32，则该半音为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A.F#B．GC．G#D．A答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意知log2ai＋1ai12＝1(i＝1，2，…，12)，∴ai＋1ai＝2112，故数列{an}是公比q＝2112的等比数列．∵a4＝D#，a8＝a4q4＝D#×(2112)4＝D#×32＝G，∴GD#＝32.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是．答案4π核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πb2a－13πb2a＝23πb2a，所以椭球体的体积为V＝43πb2a，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V＝43πb2a＝43π×12×3＝4π，故答案是4π.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．2B．32C．1D．34答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为143πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R.∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3，∴V1V2＝43πR323πR3＝2.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．37B．715C．25D．35答案C解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5，16，8，4，2，1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C26＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C24＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝mn＝615＝25.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A.12B．13C．14D．15答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C25＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝510＝12.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1c2a2；④c1a2a1c2.其中正确式子的序号是()A．①