教辅-高三数学考点复习：二项式定理

考点十八二项式定理1A卷PARTONE一、选择题1．在x2－2x6的展开式中，常数项为()A．－240B．－60C．60D．240解析x2－2x6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－2xr＝Cr6(－2)rx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，即T5＝C46(－2)4＝240，故选D.答案解析2．(2020·北京高考)在(x－2)5的展开式中，x2的系数为()A．－5B．5C．－10D．10解析(x－2)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(x)5－r(－2)r＝(－2)rCr5x5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，则x2的系数为(－2)1C15＝(－2)×5＝－10.故选C.答案解析3．(2020·山东泰安五模)(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为()A．2B．－2C．3D．－3解析由题意，(1－x)(1＋x)3＝(1＋x)3－x(1＋x)3，(1＋x)3的通项公式为Tr＋1＝Cr3·13－r·xr＝Cr3·xr，令r＝3，则Cr3＝C33＝1；令r＝2，则Cr3＝C23＝3.所以(1－x)(1＋x)3的展开式中，x3的系数为1－3＝－2.故选B.答案解析4．(2020·北京东城区期末)3x－1x6的展开式中各项系数之和为()A．26B．36C．46D．1解析令x＝1，得3x－1x6的展开式中各项系数之和为(3－1)6＝26.故选A.答案解析5．(2020·湖南长沙长郡中学高考模拟二)(1－x)10的二项展开式中，x的系数与x4的系数之差为()A．－220B．－90C．90D．0解析因为(1－x)10的二项展开式中，通项公式为Tr＋1＝Cr10·(－1)r·xr2，故x的系数与x4的系数之差为C210－C810＝0，故选D.答案解析6.yx－xy16的展开式的项中，整式的个数是()A．1B．3C．5D．7解析二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cr16yx16－r·－xyr＝(－1)rCr16x3r2－8y16－3r2(r∈Z,0≤r≤16)，要使得它为整式，则3r2－8与16－3r2均为非负整数，即8≤3r2≤16，r＝6,8,10，有3项，故选B.答案解析7．(2020·广东韶关二模)若x＋ax5的展开式中1x的系数为－80，则实数a＝()A．2B．1C．－2D．－1解析二项式x＋ax5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r·axr＝ar·Cr5·x5－2r；令5－2r＝－1，得r＝3，∴a3C35＝－80，∴a＝－2.故选C.答案解析8．(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为()A．400B．120C．80D．0解析∵(2x2－x－1)5＝(x－1)5(2x＋1)5，(x－1)5的二项展开式的通项为Cr5x5－r(－1)r，(2x＋1)5的二项展开式的通项为Ck5(2x)5－k，∴(x－1)5(2x＋1)5的展开式的通项为(－1)r25－kCr5Ck5x10－(k＋r)，∴k＋r＝8，即展开式中x2的系数为(－1)522C55C35＋(－1)421C45C45＋(－1)3C35C55＝0.答案解析9．(2020·天津南开区期末)若2x2－3xn(n∈N*)的展开式中常数项为第9项，则n的值为()A．7B．8C．9D．10解析∵2x2－3xn(n∈N*)的展开式中的第9项T9＝C8n·(－3)8·2n－8·x2n－20为常数项，故有2n－20＝0，∴n＝10，故选D.答案解析10．(2020·山东临沂二模、枣庄三调)x－2xn的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为()A．120B．－120C．60D．－60解析由题意，得2n＝64，解得n＝6，展开式通项公式为Tr＋1＝Cr6(x)6－r·－2xr＝(－2)rCr6x6－3r2，令6－3r2＝0，得r＝2，所以常数项为(－2)2C26＝60.故选C.答案解析11．已知(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为－58，则a＝()A．1B．12C．13D．14解析根据题意，知(1－ax)5的展开式的通项为Cr5(－a)rxr，∴(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为C25a2－C15a＝－58，即10a2－5a＝－58，解得a＝14，故选D.答案解析解析在3x＋1xn的展开式中，令x＝1，可得各项系数和为4n，二项式系数和为2n，各项系数和与二项式系数和之比为4n2n＝64，∴n＝6，∴3x＋1xn的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6·36－r·x6－2r.令6－2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项等于C36·33＝540.故选A.12．(2020·湖北襄阳模拟)在3x＋1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则展开式中常数项为()A．540B．480C．320D．160答案解析解析(1－px)n展开式的通项为Tr＋1＝Crn·1n－r·(－px)r＝Crn·(－px)r，故b1＝C1n·(－p)＝－pn＝－3，b2＝C2n·p2＝nn－12p2＝4，解得n＝9，p＝13.故选C.13．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知(1－px)n＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋bnxn，若b1＝－3，b2＝4，则p＝()A．1B．12C．13D．14答案解析14．(2020·江西6月大联考)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为()A．80B．40C．－40D．－80解析由题意，得C32n＝C72n，所以3＋7＝2n，解得n＝5，则(2x－1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(－1)r＝(－1)r·25－rCr5x5－r，由5－r＝3，得r＝2，所以x3的系数为(－1)2·C25·23＝80.故选A.答案解析15．(2020·全国卷Ⅰ)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20答案解析(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－ryr(r∈N且r≤5)，所以x＋y2x与(x＋y)5展开式的乘积可表示为xTr＋1＝xCr5x5－ryr＝Cr5x6－ryr或y2xTr＋1＝y2xCr5x5－ryr＝Cr5x4－ryr＋2.在xTr＋1＝Cr5x6－r·yr中，令r＝3，可得xT4＝C35x3y3＝10x3y3，该项中x3y3的系数为10，在y2xTr＋1＝Cr5x4－ryr＋2中，令r＝1，可得y2xT2＝C15x3y3＝5x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.解析16．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)设函数f(x)＝x＋14，x1，3x＋1，x≤1，则当0x1时，f(f(x))表达式的展开式中二项式系数的最大值为()A．32B．4C．24D．6答案解析f(x)＝x＋14，x1，3x＋1，x≤1，当0x1时，f(x)＝3x＋11，故f(f(x))＝f(3x＋1)＝(3x＋2)4，而(3x＋2)4的展开式共有5项，故其中二项式系数的最大值为C24＝6，故选D.解析17．在2＋x－x2020201912的展开式中，x5的系数为()A．252B．264C．512D．528解析2＋x－x2020201912的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr12(2＋x)12－r－x20202019r，必须满足r＝0，T1＝(2＋x)12，x5的系数为22C1012＝264.答案解析18．(2020·山东省实验中学6月模拟)在二项式x＋1xn的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为()A.435B．34C．314D．114答案解析二项式x＋1xn的展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Cknxn－k1xk＝Cknxn－32k，则C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝128，则n＝7，则展开式中有8项，当k＝0，k＝2，k＝4，k＝6时，7－32k∈N，即有理项有4项，无理项有4项，8项重新排列共A88种排列数，先排列无理项共A44种排列数，要使得有理项不相邻，则4项有理项的排列数为A45，所以有理项都互不相邻的概率为A45A44A88＝114，故选D.解析答案10二、填空题19．(2020·天津高考)在x＋2x25的展开式中，x2的系数是________．解析因为x＋2x25的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r2x2r＝Cr5·2r·x5－3r(r＝0,1,2,3,4,5)，令5－3r＝2，解得r＝1.所以x2的系数为C15×2＝10.答案解析答案－2220．(2020·山东济宁嘉祥县第一中学四模)若多项式x2＋2x11＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a10(x＋1)10＋a11(x＋1)11，则a10＝________.解析2x11＝2[(x＋1)－1]11的展开式的通项为Tr＋1＝2Cr11(x＋1)11－r(－1)r，令11－r＝10，解得r＝1，则a10＝2C111×(－1)＝－22.答案解析答案－3021．(2020·山东滨州三模)(x2＋2)x－1x10的展开式中，x6的系数为________．解析x－1x10展开式的通项公式为Cr10·x10－r·(－x－1)r＝(－1)r·Cr10·x10－2r.10－2r＝4⇒r＝3,10－2r＝6⇒r＝2，根据乘法分配律可知，(x2＋2)x－1x10的展开式中，含x6的项为x2·(－1)3·C310·x4＋2·(－1)2·C210·x6＝(－120＋90)·x6＝－30x6.所以x6的系数为－30.答案解析22．(2020·浙江宁波二模)若ax＋1x(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则实数a＝________，该展开式中常数项为________．解析因为ax＋1x(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，所以令ax＋1x(2x－1)5中的x＝1可得a＋1＝2，所以a＝1.因为(2x－1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－1)r＝Cr5(－1)r25－r·x5－r，r＝0,1,2,3,4,5，所以x＋1x(2x－1)5展开式中常数项为1×C45×(－1)4×2＝10.解析1102B卷PARTTWO解析由通项公式Cr5x5－r1x2r＝Cr5x5－3r，代入r＝0,1,2,3验证，当r＝0时，可得其含有x5项；当r＝1时，可得其含有x2项；当r＝2时，可得其含有x－1项；当r＝3时，可得其含有x－4项．故选C.一、选择题1．(2020·吉林长春高三质量监测三)在x＋1x25的展开式中，一定含有()A．常数项B．x项C．x－1项D．x3项答案解析2．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)(1－x2)x－1x6的展开式中的常数项为()A．－35B．－5C．5D．35答案解析(1－x2)x－1x6＝x－1x6－x2x－1x6，展开式的通项为Ck6·x6－k·－1xk－x2Cr6·x6－r·－1xr＝Ck6·(－1)k·x6－2k－Cr6·(－1)r·x8－2r，令6－2k＝0，8－2r＝0，得k＝3，r＝4，因此，(1－x2)·