教辅-高三数学考点复习：概率﹑随机变量及其分布列

考点十九概率﹑随机变量及其分布列1A卷PARTONE一、选择题1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是()A．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C.答案解析2．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的2种物质不相生的概率为()A.15B．14C．13D．12解析从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共C25＝10种情况，而相生的有5种情况，则抽到的两种物质不相生的概率P＝1－510＝12，故选D.答案解析3．(2020·浙江杭州高级中学高三下学期仿真模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球的个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝()A．1B．2C．3D．4解析由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，∴p＝12，E(X)＝4p＝4×12＝2，故选B.答案解析4．(2020·山东潍坊6月模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下40307035～50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A．该教职工具有本科学历的概率低于60%B．该教职工具有研究生学历的概率超过50%C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%答案解析该教职工具有本科学历的概率P＝75120＝58＝62.5%60%，故A错误；该教职工具有研究生学历的概率P＝45120＝38＝37.5%50%，故B错误；该教职工的年龄在50岁以上的概率P＝10120＝112≈8.3%10%，故C错误；该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率P＝15120＝18＝12.5%10%，故D正确．解析5．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为()A．3B．2.1C．0.3D．0.21解析∵x～N(90，σ2)，且P(x70)＝0.2，所以P(x110)＝0.2，∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X～B(10,0.3)，则X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1，故选B.答案解析6．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是()A.14B．516C．38D．12解析该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题．则每次都有加1或者减1两种选择，共有26＝64种可能；要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的有C36＝20种可能．故满足题意的概率P＝2064＝516.故选B.答案解析7．(多选)(2020·山东济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σξ≤μ＋3σ)＝0.9974.A．该市学生数学成绩的期望为100B．该市学生数学成绩的标准差为100C．该市学生数学成绩及格率超过0.8D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等答案解析数学成绩X服从正态分布N(100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率为p1＝1－1－P100－10ξ100＋102＝0.8413，C正确；不及格概率为p2＝0.1587，优秀概率p3＝1－P100－20ξ100＋202＝0.0228，D错误．故选AC.解析8．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝49答案解析随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，∴P(X＝1)＝23，E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝0－232×13＋1－232×23＝29.对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；对于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23＋2＝4，故B正确；对于C，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×29＝2，故C错误；对于D，D(X)＝29，故D错误．故选AB.解析答案0.3二、填空题9．(2020·山东济宁嘉祥县第一中学四模)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝________.解析因为正态分布的均值μ＝2，P(2ξ4)＝0.8－0.5＝0.3，故P(0ξ2)＝0.3.答案解析答案1310．(2020·江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)从集合2，3，12，23中取两个不同的数a，b，则logab0的概率为________．解析取两个不同的数a，b，记为有序数对(a，b)，所有基本事件为(2,3)，2，12，2，23，(3,2)，3，12，3，23，12，2，12，3，12，23，23，2，23，3，23，12，共12种，满足logab0的情况有(2,3)，(3,2)，12，23，23，12，共4种，所以其概率为13.答案解析11．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．解析因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.16解析23答案1512812．(2020·山东师范大学附属中学高三6月模拟)一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________．答案解析设“甲摸到绿球”的事件为A，则P(A)＝14，“甲摸到红球”的事件为A－，则P(A－)＝34，设“乙摸到绿球”的事件为B，则P(B)＝14，“乙摸到红球”的事件为B－，则P(B－)＝34.在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是AAA－(B＋B－)，AA－B－A，A－B－AA，所以P＝14×14×34×1＋14×34×34×14＋34×34×14×14＝15128.解析三、解答题13．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．解(1)记事件M：甲连胜四场，则P(M)＝124＝116.(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×124＝14，所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝34.解(3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，则甲赢的基本事件包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以甲赢的概率为P(M)＝124＋7×125＝932.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P(N)＝1－2×932＝716.解14．(2020·山东济南6月仿真模拟)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位：g)981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加莱还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附：①若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知，随机变量Y～Nμ，σ225；②若η～N(μ，σ2)，则P(μ－σημ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σημ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σημ＋3σ)＝0.9974；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件．解(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C02×120×122＝14；P(ξ＝1)＝C12×12×12＝12；P(ξ＝2)＝C22×122×120＝14.所以ξ的分布列为ξ012P141214所以E(ξ)＝0×14＋1×12＋2×14＝1(个)．解(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则X～N(1000,502)．根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则Y～N(1000,102)．庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为Y＝2446825＝978.721000－2×10＝980，由附②数据知，P(Y980)＝1－0.95442＝0.02280.05，由附③知，事件“Y980”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．解2B卷PARTTWO一、选择题1．(2020·山东滨州三模)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.8413，则P(－1ξ≤0)＝()A．0.3413B．0.6826C．0.1587D．0.0794解析依题意得P(ξ1)＝0.1587，P(－1ξ≤0)＝1－0.1587×2