教辅-高三数学考点复习：函数的图象﹑性质及应用

考点六函数的图象﹑性质及应用1A卷PARTONE一、选择题1．(2020·广州高三综合测试一)已知函数f(x)＝lnx，x0，ex，x≤0，则ff14的值为()A．4B．2C．12D．14答案解析∵f(x)＝lnx，x0，ex，x≤0，∴f14＝ln14，又ln14＜0，∴ff14＝eln14＝14.故选D.解析2．(2020·山东济南6月仿真模拟)函数f(x)＝x3＋x－4的零点所在的区间为()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析f(x)＝x3＋x－4，易知函数单调递增，f(0)＝－40，f(1)＝－20，f(2)＝60，故函数在(1,2)上有唯一零点．故选C.答案解析3．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为y＝2t－1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(lg2≈0.3010)()A．25B．26C．27D．28答案解析令y＝2t－1＝108，故t－1＝log2108＝8log210，即t＝8log210＋1＝8·1lg2＋1≈27.6，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选C.解析4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析因为a＝30.7＞1，b＝13－0.8＝30.8＞30.7＝a，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以c＜1＜a＜b.故选D.答案解析5．(2020·陕西西安一模)已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()A．－eB．－1eC．eD．1e解析由题意，函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，所以f(x)＝lnx，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，所以g(x)＝－lnx，又由g(a)＝1，即－lna＝1，解得a＝1e，故选D.答案解析6．(2020·山东泰安四模)函数f(x)＝x－1xcosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能是()答案解析因为f(－x)＝－x＋1xcosx＝－x－1x·cosx＝－f(x)，所以函数是奇函数，故排除A，B；取x＝π，则f(π)＝π－1πcosπ＝－π－1π0，故选D.解析7．(2020·山东枣庄二调)已知ab0，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则ab＝()A.2B．2C．22D．4答案解析∵logab＋logba＝52，∴logab＋1logab＝52，解得logab＝2或logab＝12，若logab＝2，则b＝a2，代入ab＝ba得aa2＝(a2)a＝a2a，a2＝2a，又a0，∴a＝2，则b＝22＝4，不符合题意；若logab＝12，则b＝a12，即a＝b2，代入ab＝ba得(b2)b＝b2b＝bb2，∴2b＝b2，又b0，∴b＝2，则a＝b2＝4.综上，a＝4，b＝2，∴ab＝2.故选B.解析8．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－1x3，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减答案解析因为函数f(x)＝x3－1x3的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，而y＝1x3＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上单调递增．故选A.解析9．(2020·山东省实验中学6月模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(x＋5)为偶函数，f(1)＝1，则f(2019)＋f(2020)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析∵f(x＋5)为偶函数，且f(x＋5)的图象可由f(x)的图象向左平移5个单位得到，∴f(x)的图象关于直线x＝5对称，即f(x＋5)＝f(5－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x＋5)＝－f(x－5)，且f(0)＝0，∴f(x＋20)＝－f(x＋10)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是一个周期为20的周期函数，∴f(2019)＝f(20×101－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(2020)＝f(20×101)＝f(0)＝0，∴f(2019)＋f(2020)＝－1.故选B.答案解析10．(2020·山东聊城三模)函数y＝sin2x＋2sin2x2x－1的图象大致是()答案解析当x∈0，π2时，sin2x0,2x1，所以y＝sin2x＋2sin2x2x－10，排除A，B；当x∈－π2，0时，sin2x0,02x1，所以y＝sin2x＋2sin2x2x－1＝sin2x·2x＋12x－10，排除D.故选C.解析11．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]答案解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)0；当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)0，所以由xf(x－1)≥0可得x0，－2≤x－1≤0或x－1≥2或x0，0≤x－1≤2或x－1≤－2或x＝0,解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]，故选D.解析12．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2答案解析设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log212＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A错误，B正确；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)＞f(b2)，有a＞b2，当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D错误．故选B.解析13．(2020·海南中学高三第七次月考)已知函数f(x)＝xlnx，x0，xex，x≤0，则函数y＝f(1－x)的图象大致是()答案解析①当x＝0时，y＝f(1－0)＝f(1)＝1×ln1＝0；②当x＝1时，y＝f(1－1)＝f(0)＝0e0＝0，故排除C，D；③当x0时，1－x1，∴y＝f(1－x)＝(1－x)·ln(1－x)0，故排除A；④当0x1时，01－x1，y＝f(1－x)＝(1－x)ln(1－x)．∵01－x1，ln(1－x)0，∴y＝f(1－x)＝(1－x)ln(1－x)0，故B符合；⑤当x1时，1－x0，y＝f(1－x)＝1－xe1－x，∵1－x0，e1－x0，∴y＝f(1－x)＝1－xe1－x0，故B符合．故选B.解析14．(2020·山东青岛三模)已知函数f(x)＝x＋62，－7≤x－5，fx－2，x≥－5，若函数g(x)＝f(x)－|k(x＋1)|有13个零点，则实数k的取值范围为()A.18，16B.18，16C.－16，－18∪18，16D.－16，－18∪18，16答案解析由题可知，函数g(x)＝f(x)－|k(x＋1)|有13个零点，令g(x)＝0，有f(x)＝|k|·|x＋1|，设h(x)＝|k|·|x＋1|，可知h(x)恒过定点(－1，0)，画出函数f(x)，h(x)的图象，如图所示，则函数y＝f(x)与函数h(x)＝|k|·|x＋1|的图象有13个交点，由图象可得h51，h71，h－71，则|k|·5＋11，|k|·7＋11，|k|·|－7＋1|1，即18|k|16，解得k∈－16，－18∪18，16.故选D.解析15．(多选)(2020·山东济南二模)已知实数x，y，z满足lnx＝ey＝1z，则下列关系式中可能成立的是()A．xyzB．xzyC．zxyD．zyx答案解析设lnx＝ey＝1z＝k，k0，则x＝ek，y＝lnk，z＝1k，画出函数图象，如图所示，当k＝x1时，zxy；当k＝x2时，xzy；当k＝x3时，xyz.故选ABC.解析16．(多选)(2020·山东潍坊高密一模)关于函数f(x)＝1x1＋2ex－1，下列结论正确的是()A．图象关于y轴对称B．图象关于原点对称C．在(－∞，0)上单调递增D．f(x)恒大于0答案解析函数f(x)＝1x1＋2ex－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，①因为f(x)＝1x1＋2ex－1＝1x·ex＋1ex－1，f(－x)＝1－x·e－x＋1e－x－1＝－1x·1＋ex1－ex＝1x·ex＋1ex－1＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，所以A正确，B不正确；②当x0时，y＝1x0，且y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，当x0时，y＝1＋2ex－10，且y＝1＋2ex－1在(0，＋∞)上单调递减，而f(x)＝1x1＋2ex－1，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以C正确；③由①知，f(x)＝1x·ex＋1ex－1，当x0时，1x0，ex＋10，ex－10，故此时f(x)0，又f(x)关于y轴对称，故D正确．故选ACD.解析17．(多选)(2020·海南中学高三第六次月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋xB．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝2x2－1，x≤1，|2－x|，x1D．f(x)＝1x－x答案解析根据定义可知，若f(x)有不动点，则f(x)＝x有解．对于A，令2x＋x＝x，所以2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，所以x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，所以x＝－12或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令1x－x＝x，所以x＝±22，所以f(