教辅-高三数学考点复习：空间几何体的表面积与体积

考点十三空间几何体的表面积与体积1A卷PARTONE解析正方体的外接球半径等于正方体的体对角线长的一半，即外接球半径R＝232＋232＋2322＝3，所以这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选C.一、选择题1．(2020·天津高考)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．24πC．36πD．144π答案解析解析因为该球与圆柱的上、下底面，母线均相切，不妨设圆柱的底面半径为r，故2r＝O1O2＝2，解得r＝1.故该圆柱的表面积为2πr2＋2πr×O1O2＝2π＋4π＝6π.故选C.2.(2020·山东济南6月针对性训练)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若O1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为()A．4πB．5πC．6πD．π答案解析3．(2020·山东聊城三模)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸(注：1尺＝10寸)时，平地降雨量是()A．9寸B．7寸C．8寸D．3寸答案解析由已知，得天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸，则盆口的面积为196π平方寸，盆底的面积为36π平方寸．又盆高18寸，积水深9寸，则积水的水面半径为14＋62＝10(寸)，积水的水面面积为100π平方寸，积水的体积为V＝13×(36π＋36π×100π＋100π)×9＝588π(立方寸)，所以平地降雨量为588π立方寸196π平方寸＝3(寸)．解析4．(2020·山东德州高三4月模拟)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝π3，则球O的体积为()A.162π3B．82π3C．42πD．42π3答案解析根据余弦定理，BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝3，故BC＝3.根据正弦定理，2r＝BCsin∠BAC＝2，故r＝1(r为△ABC外接圆半径)，设R为三棱锥S－ABC外接球的半径，则R2＝r2＋SA22＝2，故R＝2，故V＝43πR3＝82π3.故选B.解析5．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝ba，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量无最大、最小值D．是常量答案解析∵EF是定长，Q到EF的距离就是Q到AB的距离，也为定长，即△QEF的底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑动，∴P到平面QEF的距离是定值．即三棱锥P－QEF的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P－QEF的体积是定值，即四面体PQEF的体积是定值．解析6．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π答案解析设圆O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2.由正弦定理可得ABsin60°＝2r，∴AB＝2rsin60°＝23.∴OO1＝AB＝23.根据球中圆截面的性质得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝OO21＋O1A2＝OO21＋r2＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.解析7．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为3－1，则()A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为4π3C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为23答案解析设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即32a；内切球的半径为棱长的一半，即a2.∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝32a－a2＝3－12a＝3－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，C正确；∴正方体的外接球的表面积为4π×(3)2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为4π3，B正确；线段MN的最大值为32a＋a2＝3＋1，D错误．故选ABC.解析8．(多选)若正三棱柱ABC－A′B′C′的所有棱长都为3，外接球的球心为O，则下列四个结论正确的是()A．其外接球的表面积为21πB．直线AB′与直线BC所成的角为π3C．AO⊥B′C′D．三棱锥O－ABC的体积为938答案解析如图，球心O到下底面的距离OO′＝32，AO′＝23×32×3＝3，所以其外接球的半径R＝AO′2＋OO′2＝212，所以其外接球的表面积为4πR2＝21π，A正确；直线AB′与直线BC所成的角即直线AB′与直线B′C′所成的角，设其为θ，在△AB′C′中，cosθ＝322＋32－3222×32×3＝24，故B错误；由OO′⊥平面ABC，得OO′⊥BC，O′为△ABC的重心，则AO′⊥BC，故BC⊥平面AOO′，即BC⊥AO，故AO⊥B′C′，C正确；根据三棱锥的体积公式可得VO－ABC＝13×32×12×3×332＝938，D正确．解析答案1二、填空题9．(2020·浙江高考)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为________．解析设圆锥底面半径为r，母线长为l，则π×r×l＝2π，2×π×r＝12×2×π×l，解得r＝1，l＝2.答案解析答案358.510．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为102cm，高为10cm，打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．(π取3.14)答案解析设被挖去的正方体的棱长为xcm，圆锥底面半径为rcm，高为hcm，则22xr＝h－xh，即22x52＝10－x10，解得x＝5，所以制作该模型所需材料质量约为m＝Vρ＝0.913πr2·h－x3＝0.3π×50×10－0.9×125＝358.5g.解析答案144π11．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．解析如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径的端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝13×12R2×R＝16R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.答案解析12.(2020·山东聊城一模)点M，N分别为三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC，BB1的中点，设△A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面的面积为S，五棱锥A1－CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则V1V＝________，S1S＝________.71235解析如图所示，延长NM交直线C1C于点P，连接PA1交AC于点Q，连接QM.平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.∵BB1∥CC1，M为BC的中点，则△PCM≌△NBM.点M为PN的中点．解析∴△A1MN的面积S1＝12S△A1NP，∵QC∥A1C1，PCPC1＝13＝PQPA1，∴△A1QM的面积＝23S△A1PM，∴S1S＝35.∵△BMN的面积＝18S四边形B1C1CB，∴五棱锥A1－CC1B1NM的体积为V1＝78V四棱锥A1－B1C1CB，而四棱锥A1－B1C1CB的体积＝23V，∴V1V＝78×23VV＝712.解析三、解答题13．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，点D，E，F，G分别是所在棱的中点．(1)证明：平面BEF∥平面DA1C1；(2)求三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积．解(1)证明：∵E，F分别是A1B1和B1C1的中点，∴EF∥A1C1，∵EF⊄平面DA1C1，A1C1⊂平面DA1C1，∴EF∥平面DA1C1，∵D，E分别是AB和A1B1的中点，∴DB綊A1E，∴四边形BDA1E是平行四边形，∴BE∥A1D，∵BE⊄平面DA1C1，A1D⊂平面DA1C1，∴BE∥平面DA1C1，∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面DA1C1.解(2)由题图可知，三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分，可看作三棱台DBG－A1B1C1减掉三棱锥B－B1EF后的剩余部分，∵S△DBG＝S△B1EF＝34×12＝34，S△A1B1C1＝34×22＝3，∴三棱台DBG－A1B1C1的体积为V1＝13×34＋34＋3×3＝734，三棱锥B－B1EF的体积V2＝13×34×3＝34，∴三棱柱ABC－A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积为V＝V1－V2＝734－34＝332.解14.如图，已知棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝5，SB＝7，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC＝λ，SA∥平面BEF.(1)求实数λ的值；(2)求三棱锥F－EBC的体积．解(1)连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∵△GEA∽△GBC，∴AGGC＝AEBC＝12，∴SFFC＝AGGC＝12.∴SF＝13SC，∴λ＝13.解(2)∵SA＝SD＝5，∴SE⊥AD，SE＝2，又AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝3，∴SE2＋BE2＝SB2.∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，∴VF－EBC＝23VS－EBC＝13VS－ABCD＝13×13×2×2sin60°×2＝439.解2B卷PARTTWO一、选择题1.(2020·山东临沂一模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？”意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子()A．200两B．240两C．360两D．400两答案解析该堆粟的底面半径为r＝122×3＝2，体积V＝13×3×22×1＝4立方丈＝4×106立方寸＝4000027斛，故主人卖后可得银子4000027×270÷1000＝400两．故选D.解析2．(2020·海口市高考模拟演练)一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为()A．123B．3233C．3239D．12解析因为正方体的表面积为24，所以其棱长为2，体积为23＝8.设正三棱锥的高为h，因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，所以13×12×3×3×32h＝8，解得h＝3239.答案解析3.(2020·海南中学高三摸底)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝()A．1＋26B．1C．26D．1＋22答案解析根据平面展开图，还原几何体如右图所示，故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成．则其体积V＝13＋13×1×1×22＝1＋26.故选A.解析4．(2020·海南高考调研测试)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A－BCD的每个顶