新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练27

题组层级快练(二十七)1．函数y＝cos(x＋π6)，x∈[0，π2]的值域是()A．(－32，12]B．[－12，32]C．[12，32]D．[－32，－12]答案B解析x∈[0，π2]，x＋π6∈[π6，23π]，∴y∈[－12，32]．2．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是()A.2－12B．－2＋12C．－1D.1－22答案D解析f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－12)2＋54，当sinx＝－22时，有最小值，ymin＝24－22＝1－22.3．函数f(x)＝sinx－cos(x＋π6)的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D．[－32，32]答案B解析∵f(x)＝sinx－cos(x＋π6)＝sinx－32cosx＋12sinx＝32sinx－32cosx＝3sin(x－π6)，∴f(x)的值域为[－3，3]．4．函数y＝2sin(πx6－π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3答案A解析当0≤x≤9时，－π3≤πx6－π3≤7π6，－32≤sin(πx6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－3.5．函数y＝sinx＋sin|x|的值域是()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[0,2]D．[0,1]答案B解析当x＞0时，y＝2sinx，y∈[－2,2]，x≤0时，y＝0.6．函数y＝12sin(2x＋π6)＋5sin(π3－2x)的最大值是()A．6＋532B．17C．13D．12答案C解析y＝12sin(2x＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x)]＝12sin(2x＋π6)＋5cos(2x＋π6)＝13sin(2x＋π6＋φ)，故选C.7．当0＜x＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x的最小值是()A.14B.12C．2D．4答案D解析f(x)＝1－tan2x＋tanx＝1－tanx－122＋14，当tanx＝12时，f(x)的最小值为4，故选D.8．已知f(x)＝sinx＋1sinx，x∈(0，π)．下列结论正确的是()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值答案B解析令t＝sinx，t∈(0,1]，则y＝1＋1t，t∈(0,1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y＝1＋1sinx，得出sinx＝1y－1，由sinx∈(0,1]也可求出，故选B.9．若函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案(－2π3，2π3]解析y＝2－(cosx－1)2，当x＝－23π时，y＝－14，根据函数的对称性x∈(－2π3，2π3]．10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．答案1解析f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.11．若函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x－m在[0，π2]上有零点，则实数m的取值范围是________．答案[－1，2]解析f(x)＝1＋2sinxcosx－2cos2x－m＝0有解，x∈[0，π2]．即sin2x－cos2x＝m有解．2sin(2x－π4)＝m有解．∵x∈[0，π2]，∴2x－π4∈[－π4，3π4]．∴2sin(2x－π4)∈[－1，2]．12．函数y＝1sin2x＋2cos2x的最小值是________．答案3＋22解析y＝1sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2xsin2x＋2sin2x＋2cos2xcos2x＝3＋cos2xsin2x＋2sin2xcos2x≥3＋22，∴ymin＝3＋22.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m＝________；(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．答案(1)0(2)40或41解析(1)f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m＝3sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，因为0≤x≤π2，所以π6≤2x＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x＋π6)≤1，f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，所以m＝0.(2)由(1)f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1，T＝2π2＝π，在区间[a，a＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.14．已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．答案(1)π(2)22{x|x＝kπ－π8，k∈Z}解析(1)f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx－32sinx)(12cosx＋32sinx)＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－3－3cos2x8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos(2x＋π4)，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值22.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－π8，k∈Z}．15．(2015·江西百强中学月考)设函数f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当x∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a的值．答案(1)T＝π，[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)(2)a＝0解析(1)∵f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＋a＝32sin2x＋12(1＋cos2x)＋a＝32sin2x＋12cos2x＋a＋12＝sin(2x＋π6)＋a＋12，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)．(2)∵－π6≤x≤π3，∴－π6≤2x＋π6≤5π6.当2x＋π6＝－π6时，函数f(x)取最小值，即f(x)min＝－12＋a＋12＝a；当2x＋π6＝π2时，函数f(x)取最大值，即f(x)max＝1＋a＋12＝a＋32.∴a＋a＋32＝32，∴a＝0.16．(2014·江西理)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．答案(1)最大值为22，最小值为－1(2)a＝－1，θ＝－π6解析(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sinx＋cosx)－2sinx＝22cosx－22sinx＝sinπ4－x.因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4.故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，fπ＝1，得cosθ1－2asinθ＝0，2asin2θ－sinθ－a＝1.由θ∈－π2，π2知cosθ≠0，解得a＝－1，θ＝－π6.