新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练34

题组层级快练(三十四)1．若(x＋i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝()A．±1B．2C．－1D．1答案A解析(x＋i)2＝x2－1＋2xi，因为(x＋i)2是纯虚数，所以x＝±1.2．(2014·湖北)i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．－1B．1C．－iD．i答案A解析1－i1＋i2＝－2i2i＝－1，选A.3．(2014·辽宁)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i答案A解析利用方程思想求解复数并化简．由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋52－i＝2i＋52＋i2－i2＋i＝2i＋2＋i＝2＋3i.4．(2015·皖北协作区联考)已知集合A＝{1,2z2，zi}，B＝{2,4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为()A．iB．－iC．2iD．－2i答案D解析∵A∩B＝{2}，且z为纯虚数，∴zi＝2，∴z＝－2i，故选D.5．(2014·江西理)z－是z的共轭复数，若z＋z－＝2，(z－z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案D6．(2014·安徽理)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则zi＋i·z＝()A．－2B．－2iC．2D．2i答案C解析先根据z求出z及zi，结合复数的运算法则求解．∵z＝1＋i，∴z＝1－i，zi＝1＋ii＝－i2＋ii＝1－i.∴zi＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.7．若复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于()A.2B.23C．－23D．2答案C解析2－bi1＋2i＝2－bi1－2i1＋2i1－2i＝2－2b－4＋bi5，由题意得2－2b5－4＋b5＝0，得b＝－23.8．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析因为π23π，所以cos30，sin30，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．9．(2015·吉林普通高中期末联考)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若z1＋i＝2－i成立，则点P(a，b)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，对应的点在第一象限．10．已知复数z＝tanθ－3i－1i，则“θ＝π3”是“z是纯虚数”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当θ＝π3时，z是纯虚数；反之不成立．故“θ＝π3”是“z是纯虚数”的充分不必要条件．11.(2015·湖北黄冈期末)复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则z－2＝()A．3－4iB．－4－3iC．－4＋3iD．－3－4i答案B解析由题意知A(3,4)，B(－4,3)，即z2＝－4＋3i，z－2＝－4－3i.12．(2015·湖北武汉调研)复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析因为m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设复数m(3＋i)－(2＋i)所对应的点为(x，y)，则x＝3m－2，y＝m－1.消去m，得x－3y－1＝0.因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|答案D解析|z|＝x2＋y2≤x2＋2|xy|＋y2＝|x|＋|y|2＝|x|＋|y|，D正确，易知A，B，C错误．14．i＋i2＋i3＋…＋i2015的值是________．答案－1解析原式＝i1－i20151－i＝i1－i31－i＝i1＋i1－i＝i·i＝－1.15．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA→和OB→，其中O为坐标原点，则|AB→|＝________.答案22解析由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故|AB→|＝－1－12＋3－12＝22.16．(2015·山东青岛一模)已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.答案1解析因为a＋2ii＝b＋i，所以2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得b＝2，a＝－1，故a＋b＝1.17．(2015·福建厦门质检)若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于________．答案1－2i解析∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝51＋2i＝51－2i1＋2i1－2i＝1－2i.18．i是虚数单位，(21－i)2014＋(1＋i1－i)6＝________.答案－1－i解析原式＝[(21－i)2]1007＋(1＋i1－i)6＝(2－2i)1007＋i6＝i1007＋i6＝i4×251＋3＋i4＋2＝i3＋i2＝－1－i.19．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→，求x＋y的值．答案5解析由OC→＝xOA→＋yOB→，得(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴－x＋y＝3，2x－y＝－2.解得x＝1，y＝4，故x＋y＝5.20．复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z－1＋z2是实数，求实数a的值．答案a＝3解析z－1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝(3a＋5＋21－a)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i.∵z－1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.1．(2014·广东文)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1]()A．1B．2C．3D．4答案B解析先理解透新定义，再结合复数的运算性质求解．由题意得(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3＝z1])＝z1z2＋z1z3＝(z1]z3，而z1]，故③错误；z1]，而z2]，故④不正确，故选B.2．(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．答案21解析复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.3．(2014·山东文)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i答案A解析由a＋i＝2－bi，可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.