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题组层级快练(五十)1．一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的对角线长是()A．23B．32C．6D.6答案D解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab＝2，bc＝3，ac＝6.∴(abc)2＝6.解得a＝2，b＝1，c＝3.故对角线长l＝a2＋b2＋c2＝6.2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3答案A解析设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.3．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A.32πB．π＋3C.32π＋3D.52π＋3答案C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．∴S＝12×2×3＋12×π＋12×2π×1＝32π＋3.4．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．75＋210B．75＋410C．48＋410D．48＋210答案B解析由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面面积之和为2×4＋52×3＝27，四个侧面的面积之和是(3＋4＋5＋10)×4＝48＋410，故表面积是75＋410.5．(2014·浙江文)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3答案B解析先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝V三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90cm3.6．(2015·大连双基考试)如图所示，在边长为1的正方形网格中用粗线画出某个多面体的三视图，则该多面体的体积为()A．15B．13C．12D．9答案B解析该题中的几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD是一个矩形(其中AB＝5，BC＝2)，棱EF∥底面ABCD，且EF＝3，直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB，EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥E－ABCD与三棱锥E－FBC的体积之和，而四棱锥E－ABCD的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E－FBC的体积等于13×(12×3×3)×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π3B．3πC.10π3D．6π答案B解析方法一：由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V＝2π＋π＝3π.方法二：V＝12·π·12·(2＋4)＝3π.选B.8．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为()A.13B.16C.112D.124答案D解析设B，D，C重合于G，则VA－EFG＝13×1×12×12×12＝124.9．(2015·河北邯郸摸底考试)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．23B．25C.433D.533答案D解析观察三视图可知，这是一个正三棱柱削去一个三棱锥，正三棱柱的底面边长为2，高为2.截去的三棱锥高为1，所以几何体的体积为12×2×3×2－13×12×2×3×1＝533，故选D.10．(2015·衡水调研卷)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12答案C11.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1—EDF的体积为________．答案16解析三棱锥D1—EDF的体积即为三棱锥F—DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCD—A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝13×12×1＝16.12.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________．答案1∶5解析方法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc.又S△A′DD′＝12bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.∴V三棱锥C－A′DD′＝13S△A′DD′·CD＝16abc.则剩余部分的几何体积V剩＝abc－16abc＝56abc.故V棱锥C－A′D′D∶V剩＝16abc∶56abc＝1∶5.方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为12S，高是h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.余下的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh∶56Sh＝1∶5.13．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．答案8π解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为22＋22＝8＝22，即球半径为2，所以球的表面积为4π×(2)2＝8π.14．(2014·山东理)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.答案14解析由题意，知VD－ABE＝VA－BDE＝V1，VP－ABC＝VA－PBC＝V2.因为D，E分别为PB，PC中点，所以S△BDES△PBC＝14.设点A到平面PBC的距离为d，则V1V2＝13S△BDE·d13S△PBC·d＝S△BDES△PBC＝14.15.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．答案S全面积＝10π，V＝230π解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，得l＋r＋2r＝5＋2×2，2πrl＝π2，解得r＝2，l＝42.S全面积＝πrl＋πr2＝10π，h＝l2－r2＝30，V＝πr2h＝230π.16.右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．答案(1)略(2)2解析(1)如图所示：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD.∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.∵S梯形PDCE＝12(PD＋EC)·DC＝12×3×2＝3，∴四棱锥B－CEPD的体积VB－CEPD＝13S梯形PDCE·BC＝13×3×2＝2.17．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥平面EFG.答案(1)略(2)2843cm3(3)略解析(1)如图所示．(2)所求多面体的体积是：V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843cm3.(3)如图所示，复原长方体ABCD－A′B′C′D′，连接AD′，则AD′∥BC′.∵E，G分别是AA′，A′D′的中点，∴AD′∥EG.从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG，∴BC′∥平面EFG.1．(2014·福建文)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．1答案A解析所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定主(正)视方向垂直平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．答案3解析∵AE＝BE＝3，AB＝2，∴△ABE的边AB上的高为2.∵该几何体的侧视图是一直角三角形，一直角边为AD，另一直角边长为2.又∵其面积为22，∴AD＝1.∴AD＝BC＝1，DE＝CE＝CD＝2.∴∠AED＝∠BEC＝30°，∠DEC＝60°.将△AED，△DEC，△BEC展开在同一平面内，得如图所示．当A，M，N，B共线时，AM＋MN＋NB最小，∵AE＝BE＝3，∠AEB＝120°，∴AB＝3.3．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．答案11π2＋33解析这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋33.