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题组层级快练(五十三)1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是()A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案C解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.2．(2015·成都一诊)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b答案C解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图(2)，直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.3.(2015·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案D解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案B解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.5.如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．6.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为13答案B解析取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥平面BCD.∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD，假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD.A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，∴A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝13S△A′BD·CD＝16，D错误，故选B.7.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；(3)求四棱锥P—ABCD的体积．答案(1)略(2)略(3)23解析(1)如图所示，连接AC.∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF∥AP，∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(3)取AD的中点为O.连接PO.∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，∴四棱锥P—ABCD的体积V＝13PO·AB·AD＝23.9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求证：BC1∥平面CA1D；(3)求三棱锥B1－A1DC的体积．答案(1)略(2)略(3)43解析(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1.∴CD⊥BB1.又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点．又D是AB的中点，则DE∥BC1.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高．在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝22，CD＝2.又BB1＝2，∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝13S△A1B1D·CD＝16A1B1×B1B×CD＝16×22×2×2＝43.10.如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.答案(1)略(2)略证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A.∴BC⊥平面SAB.又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC.又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.11.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．答案(1)略(2)1∶1解析(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.答案(1)略(2)略(3)略解析(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.13.如图所示，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝A1B，B1C1∥BC，B1C1＝12BC.(1)求证：平面A1AC⊥平面ABC；(2)求证：AB1∥平面A1C1C.答案(1)略(2)略证明(1)证明：∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝2.∵A1C＝A1B，∴A1C＝2.∴∠A1AC＝90°.∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC.又∵A1A⊂平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.(2)取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝12BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC.∴四边形CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.∵C1C⊂平面A1C1C，B1E⊄平面A1C1C，∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝12BC，∴B1C1∥BE，B1C1＝BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形．∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形．∴AE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1C，AE⊄平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.∵AE∩B1E＝E，∴平面B1AE∥平面A1C1C.∵AB1⊂平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β答案B解析对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.2．(2014·四川文)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．思路(1)利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)利用线面平行的判定定理即可得出结论．解析(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1