搜索
1回扣验收特训（二）圆锥曲线与方程1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A．2B.3C.2D.32解析：选C由题可知y＝bax与y＝－bax互相垂直，可得－ba·ba＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝2，e＝2.2．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－116C．x2＝y－12D．x2＝2y－2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝p2，y＝q＋12，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－y24＝1交于A，B两点，且|AB|＝82，则实数k的值为()A．±7B．±3或±413C．±3D．±413解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－y24＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2则x1＋x2＝2k4－k2，x1x2＝－54－k2，所以|AB|＝1＋k2·2k4－k22＋204－k2＝82，解得k＝±3或±413.4.我们把由半椭圆x2a2＋y2b2＝1(x≥0)与半椭圆y2b2＋x2c2＝1(x0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，abc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.72，1B.3，1C．5,3D．5,4解析：选A∵|OF2|＝b2－c2＝12，|OF0|＝c＝3|OF2|＝32，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋34＝74，得a＝72.5.如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62解析：选D焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝22，故a＝2，所以双曲线的离心率e＝32＝62，选D.6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：x22＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为()A.3B.5C．2D.63解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－1kx＋h，将l1：y＝kx＋h代入x22＋y2＝1得x22＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由l1与椭圆E只有一个交点知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋2k2＝h2，得1k2＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝3.7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为________．解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的方程为x24－y216＝1.答案：x24－y216＝18．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________．解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x2上的点P(t，t2)，d＝|2t－t2－4|5＝t2－2t＋45＝t－2＋35≥35＝355.答案：3559．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.4法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：610．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，若它的一个顶点恰好是抛物线x2＝42y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值．解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵抛物线x2＝42y的焦点是(0，2)，∴b＝2.由ca＝32，a2＝b2＋c2，得a＝22，∴椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝12x＋t，联立x28＋y22＝1，y＝12x＋t，得x2＋2tx＋2t2－4＝0，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.5在x28＋y22＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)．∴四边形APBQ的面积S＝S△APQ＋S△BPQ＝12|PQ|·|x2－x1|＝12×2×|x2－x1|＝|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2＝4t2－t2－＝－4t2＋16.∴当t＝0时，Smax＝4.∴四边形APBQ面积的最大值为4.11．已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C.(1)当直线l的斜率是12时，AC―→＝14AB―→，求抛物线G的方程；(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知得，直线l的方程为y＝12(x＋4)，即x＝2y－4.由x2＝2py，x＝2y－4，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，则y1＋y2＝8＋p2，y1y2＝4，又因为AC―→＝14AB―→，所以y2＝14y1或y1＝4y2.由p＞0得，y1＝4，y2＝1，p＝2，所以抛物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知l的斜率存在．设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由x2＝4y，y＝kx＋，得x2－4kx－16k＝0.①所以x0＝x1＋x22＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.所以BC的垂直平分线的方程为y－2k2－4k＝－1k(x－2k)，所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程①由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.6所以b∈(2，＋∞)．所以b的取值范围为(2，＋∞)．