2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）新人教A版选修1-1

1模块综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x0∈R,2x0－31”的否定是()A．∃x0∈R,2x0－3≤1B．∀x∈R,2x－31C．∀x∈R,2x－3≤1D．∃x0∈R,2x0－31解析：选C由特称命题的否定的定义即知．2．函数y＝－1x的图象在点(1，－1)处的切线的方程是()A．x－y－2＝0B．2x－2y＋3＝0C．x＋y＝0D．x－y＝0解析：选A∵y′＝1x2，∴y′|x＝1＝1，∴y＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，∴切线的方程为y－(－1)＝x－1，即x－y－2＝0，故选A.3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D．－8解析：选B由y＝ax2得x2＝1ay,∴1a＝－8，∴a＝－18.4．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“ab”与“a＋cb＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5．已知甲：a，b，c成等差数列；乙：ab＋cb＝2.则甲是乙的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若ab＋cb＝2，则a＋c＝2b，2由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出ab＋cb＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.316B.38C.163D.83解析：选A抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，故双曲线x2m－y2n＝1中，m0，n0且m＋n＝c2＝1.①又双曲线的离心率e＝cm＝m＋nm＝2，②联立方程①②，解得m＝14，n＝34.故mn＝316.7．下列命题的否定是真命题的是()A．存在向量m，使得在△ABC中，m∥AB―→且m∥AC―→B．对所有正实数x，都有x＋1x≥2C．对所有第四象限的角α，都有sinα0D．有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析：选DA中，当m＝0时，满足m∥AB―→且m∥AC―→，所以A是真命题，其否定是假命题；B中，由于x0，所以x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xα，均有f(1)＝1，3所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D是假命题，其否定是真命题．故选D.8.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B.12，＋∞C．[－2,3]D.98，＋∞解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94.当x＞98时，y′＞0，∴y＝x2－94x－6的单调递增区间为98，＋∞.故选D.9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆x2m＋y2n＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝2π3时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是()A．41B．15C．9D．1解析：选B由S△F1PF2＝12|F1F2|·yP＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．此时∠F1PF2＝2π3，得a＝m＝23，b＝n＝3，故m＋n＝15.10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.23解析：选A由题意得|F1A|－|F2A|＝2a，|F1A|＝2|F2A|，4解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，又由已知可得ca＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，∴cos∠AF2F1＝|F2A|2＋|F1F2|2－|F1A|22|F2A|·|F1F2|＝4a2＋16a2－16a22×2a×4a＝14.故选A.11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋3x，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝x＋x－x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝fxex，则g′(x)＝fxx－fxxx2＝fx－fxex，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即fx1ex1＜fx2ex2，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．5解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.答案：314．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0为假命题，∴∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，∴－22≤a≤22.答案：[－22，22]15．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线x2＝4y的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y＝±bax，抛物线的准线方程是y＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是－ab，－1，ab，－1，(0,0)，该三角形的面积等于2×12×ab×1＝ab＝2，因此该双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋122＝52.答案：5216．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，则y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变化关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)6y′＋0－y极大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：3023000三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p：方程x22＋y2m＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：∀x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0.若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．解：p真时，m2.q真时，4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3.∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．∴m≤2，1≤m≤3，即1≤m≤2.∴所求m的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点M的双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)把M(m,4)代入x2＝4y可得m＝±4，所以M点的坐标为(±4,4)，∵抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，∴a＝1，∴双曲线的方程为y2－x2b2＝1(b＞0)，代入M(±4,4)得b2＝1615，b＝415，7∴双曲线的渐近线方程为y＝±1415x，即为y＝±154x.19．(本小题满分12分)已知a＜2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)·ex.(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6e－2，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，则f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex.由f′(x)≥0得x2＋3x＋2≥0，即x≥－1或x≤－2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)．(2)f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex.由f′(x)＝0得x＝－2或x＝－a，因为a＜2，所以－a＞－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x＝－2时f(x)取得极大值，即(4－2a＋a)e－2＝6e－2，所以a＝－2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA―→·OB―→＝0，8即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋－x20x20＋4＝x202＋8x20＋4(0＜x20≤4)．因为x202＋8x20≥4(0＜x20≤4)，当且仅当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.21．(本小题满分12分)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1(a＞0)的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a2＞1－a2,2c＝1，a2＝1－a2＋c2，则a2＝58，所以椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.(2)证明：设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，Q(0，m)，则F2P―→＝(x－c，y)，QF2―→＝(c，－m)，F1P―→＝(x＋c，y)，F1Q―→＝(c，m)．