2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）新人教A版选修4-5

1模块综合检测(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x－2|4的解集是()A．{x|x2}B.xx－23C.xx－23或x2D.x－23x2解析：选C因为|3x－2|4，所以3x－24或3x－2－4，所以x2或x－23.2．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a解析：选D因为－1＜b＜0，所以b＜b2＜1.又因为a＜0，所以ab＞ab2＞a.3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B至少有一个不大于60°是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°，所以反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60°.4．若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式一定成立的是()A．a2b2B.ba1C．lg(a－b)0D.13a13b解析：选D因为函数f(x)＝13x在R上是减函数，又ab，所以13a13b，故选D.5．若a0，使不等式|x－4|＋|x－3|a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A．(0,1)B．{1}2C．(1，＋∞)D．以上均不对解析：选C函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1，所以若|x－4|＋|x－3|a的解集不是空集，需满足a1.6．若关于实数x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－1,3)D．[－1,3]解析：选C|x－1|＋|x－3|的几何意义是数轴上对应的点到1,3对应的两点的距离之和，故它的最小值为2.∵原不等式的解集为∅，∴a2－2a－12，即a2－2a－30，解得－1a3.7．若存在x∈R，使|2x－a|＋2|3－x|≤1成立，则实数a的取值范围是()A．[2,4]B．(5,7)C．[5,7]D．(－∞，5]∪[7，＋∞)解析：选C∵|2x－a|＋2|3－x|＝|2x－a|＋|6－2x|≥|2x－a＋6－2x|＝|a－6|，∴|a－6|≤1，解得5≤a≤7.8．若直线xa＋yb＝1过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：选D因为直线xa＋yb＝1过点M(cosα，sinα)，所以cosαa＋sinαb＝1.由柯西不等式可知cosαa＋sinαb2≤(cos2α＋sin2α)·1a2＋1b2，当且仅当cosαsinα＝1a1b时等号成立，故1a2＋1b2≥1.9．已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋a2x对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D由题意得(|y＋4|－|y|)max≤2x＋a2x，而|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4，3因此2x＋a2x≥4⇒a≥[2x(4－2x)]max，而2x(4－2x)≤2x＋4－2x22＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以a≥4，amin＝4.10．设x，y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4B．43C．9D．16解析：选D因为32＋x＋32＋y＝1，所以032＋x1,032＋y1，即x1，y1，所以x＝y＋8y－1，所以xy＝y＋8y－1·y＝y2＋8yy－1＝y－2＋1y－＋9y－1＝(y－1)＋9y－1＋10≥2y－9y－1＋10＝16，当且仅当y＝4时等号成立．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11.2x－1x＜3的解集是________________．解析：∵2x－1x＜3，∴|2x－1|＜3|x|.两边平方得4x2－4x＋1＜9x2，∴5x2＋4x－1＞0，解得x＞15或x＜－1.∴所求不等式的解集为xx＜－1或x＞15.答案：(－∞，－1)∪15，＋∞12．若x0，则函数f(x)＝x2＋1x2－x－1x的最小值是________．解析：令t＝x＋1x，因为x0，所以－x＋1x≥2，所以t≤－2，则g(t)＝t2－t－2＝t－122－94，所以f(x)min＝g(－2)＝4.4答案：413．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1x2，3，x≥2.当－1x2时，由2x－1≥1，解得1≤x2.又当x≥2时，f(x)＝31.所以不等式的解集为{x|x≥1}．答案：[1，＋∞)14．设实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝4，a2＋b2＋c2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2，因为a＋2b＋3c＝4，故a2＋b2＋c2≥87，当且仅当a1＝b2＝c3，即a＝27，b＝47，c＝67时取“＝”．答案：87三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解：(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|－5的图象，可知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，5即|x＋1|＋|x－2|≥－a.|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴－a≤3，∴a≥－3.∴a的取值范围是[－3，＋∞)．16．(本小题满分12分)设不等式－2|x－1|－|x＋2|0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：13a＋16b14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2x1，－3，x≥1由－2－2x－10，解得－12x12，则M＝－12，12.所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a214，b214.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)0，所以|1－4ab|24|a－b|2，故|1－4ab|2|a－b|.17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于x≤－1，－2x≥3或－1x≤1，2≥3或x1，2x≥3，解得x≤－32或x∈∅或x≥32.∴不等式的解集为xx≤－32或x≥32.(2)由题意得，关于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立．∵|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.∴实数a的取值范围是[－1,2]．618．(本小题满分14分)已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n∈N＋.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)g(2)；当n＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k332－12k2.那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋1k＋332－12k2＋1k＋3.因为f(k＋1)－g(k＋1)＜32－12k2＋1k＋3－32－1k＋2＝1k＋2－12k2－1k＋3＝k＋3k＋3－12k2＝－3k－1k＋3k20，所以f(k＋1)g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．7