2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）苏教版选修2-2

1阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(四川高考)复数2－2i1＋i＝________.2．函数y＝11－cosx的导数是________．3．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＜f′(x)，且f(0)＝2，则不等式fxex＞2的解集为________．7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.8．函数y＝sin2x的图像在点Aπ6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2014个梯形数为a2014，则a2014＝________.10．复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝2，则z1＝________.11．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：____________________________________.212．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．317．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn－2n＋2，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081.观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．419.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝lnx.(1)若直线y＝x＋m与函数f(x)的图像相切，求实数m的值．(2)证明曲线y＝f(x)与曲线y＝x－1x有唯一的公共点；(3)设0＜ab，比较fb－fa2与b－ab＋a的大小，并说明理由．5答案1．解析：2－2i1＋i＝－2＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．解析：y′＝－cosx－1－cosx－cosx2＝－sinx－cosx2.答案：y′＝－sinx－cosx23．解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1＜0，得c＜e－1.答案：－∞，1e4．解析：“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a、b都不能被5整除”．答案：a，b都不能被5整除5．解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)，∴增加了k＋k＋k＋1＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)6．解析：令g(x)＝fxex，∴g′(x)＝fxex′＝fx－fxex＞0，∴g(x)为增函数．由fxex＞2得fxex＞fe0，所以g(x)＞g(0)，∴x＞0.答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.答案：4＋2i8．解析：y′＝(sin2x)′＝sin2x，∴函数y＝sin2x的图像在点Aπ6，14处的切线的6斜率k＝sinπ3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝n＋＋n＋2＝12×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2014＝2＋3＋4＋…＋2016＝12×2015×2018＝2015×1009.答案：2015×100910．解析：设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝2，∴a＋b－＝－a＋b＋，a2＋b2＝2，解得a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1，∴z1＝1－i或z1＝－1＋i.答案：1－i或－1＋i11．若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bs－1ttt－1s＝112．解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0，即2p＋q＝3.①因f(x)过(1,0)点，所以1－p－q＝0，即p＋q＝1.②由①②，得p＝2，q＝－1，即f(x)＝x3－2x2＋x.f′(x)＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝13，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－∞，131313，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以当x＝13时，f(x)取得极大值427；当x＝1时，f(x)取得极小值0.答案：427013．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴VA－EFG∶VA－BCD＝1∶8.答案：VA－EFG∶VA－BCD＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝S阴影S正方形＝21－1－x2dx22＝7834＝23.答案：2315．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1得a2＋b2＝1，(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，则3a－4b＝0,4a＋3b≠0，∴a2＋b2＝1，3a－4b＝0，4a＋3b≠0解得a＝45，b＝35或a＝－45，b＝－35.∴z＝45－35i或－45＋35i.16．解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴c＝0.则f(x)＝ax3＋bx.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12，又直线x－6y－7＝0的斜率为16，∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.∴a＝2，b＝－12，c＝0.(2)由(1)知f(x)＝2x3－12x.f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2，列表如下：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f(－1)＝10，f(2)＝－82，f(3)＝18，∴f(x)1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.当a1时，列表：x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af′(x)＋0－0＋f(x)0极大值3a－1极小值a2(3－a)4a38比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得g(a)＝0，1a≤3，a2－a，a3.当a－1时，列表：x0(0,1)1(1，－2a)－2af′(x)－0＋f(x)0极小值3a－1－28a3－24a2得g(a)＝3a－1.综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝3a－1，a－1，0，1a≤3，a2－a，a3.18．解：推测Sn＝n＋2－1n＋2(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，S1＝＋2－1＋2＝89，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即Sk＝k＋2－1k＋2，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋k＋k＋2k＋32＝k＋2－1k＋2＋k＋k＋2k＋2＝k＋2－k＋2＋k＋k＋2k＋2＝k＋2k＋2－k＋2＋k＋k＋2k＋2＝k＋2k＋2－k＋2k＋2k＋2＝k＋2－1k＋2＝k＋＋1]2－1k＋＋1]2.也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．19．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，x1x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当xx1或xx2时，f′(x)0；当x1xx2时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．(2)因为a0，所以x10，x20.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0a1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x＝0处取得最小值．20．解：(1)f′(x)＝1x，设切点为(x0，y0)，则k＝1x0＝1，∴x0＝1，y0＝lnx0＝ln1＝0，代入y＝x＋m，得m＝－1.9(2)令h(x)＝f(x)－x－1x＝lnx－x＋1x.则h′(x)＝1x－1－1x2＝－x2＋x－1x2＝－x－122－34x2＜0，∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．又h(1)＝ln1－1＋1＝0，∴x＝1是函数h(x