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1第1章常用逻辑用语[对应学生用书P17]一、命题及其关系1．命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题．2．四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“p⇒q”，且“p⇐/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p⇔/q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．三、逻辑联结词1．“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p∨q”“p∧q”“綈p”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”中有真为真，“p∧q”有假为假，綈p与p真假相反．3．注意命题的否定与否命题的区别．否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论．四、全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．2．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．2五、含有一个量词的命题的否定1．全称命题的否定一定是存在性命题．p：∀x∈M，p(x)成立；綈p：∃x∈M，綈p(x)成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题．p：∃x∈M，p(x)成立；綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．对应阶段质量检测(一)见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．命题：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________________．答案：若a≠0且b≠0，则ab≠02．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是___________________________________．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－2x＋103．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．解析：l1与l2平行的充要条件是a(a＋1)＝2×1，且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(綈p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(綈p)∨(綈q)．解析：命题p真，命题q假，因此綈p假，綈q真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．解析：显然①假，②真，对于③，当k0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋10，故③为真．3答案：26．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．(湖南高考改编)“1x2”是“x2”成立的________条件．解析：设A＝{x|1x2}，B＝{x|x2}，故AB，即当x0∈A时，有x0∈B，反之不一定成立．因此“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件答案：充分不必要8．命题“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．答案：49．(辽宁高考改编)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为________．解析：设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但ann＝1＋1n是递减数列，所以p3为假命题；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案：p1，p410．命题p：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是________________________________________________________；②否命题是__________________________________________________________．答案：①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似411．已知命题p：不等式|x－1|m的解集是R，命题q：f(x)＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．解析：命题p：m0，命题q：m2.∵p与q一真一假，∴m0，m≥2或m≥0，m2，解得0≤m2.答案：[0,2)12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p：“∃x∈R，x2－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－20”；②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；③“MN”是“(23)M(23)N”的充分不必要条件．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p是q的必要条件知：q⇒綈p则p⇒綈q，即p是綈q的充分条件，正确；对于③，由MN不能得知(23)M(23)N，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的_____________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间12，＋∞上为增函数”的________________．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在12，＋∞上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间12，＋∞上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间12，＋∞上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件(2)充分不必要条件14．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，5解得a≤4，从而a的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p为真命题．(2)綈p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题．(3)綈p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.綈p为真命题．(4)綈p：∃x0，y0∈R，x20＋y20＋2x0－4y0＋5≠0.綈p为真命题．16．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.解：(1)逆命题：若sinα＝sinβ，则α＝β；否命题：若α≠β，则sinα≠sinβ；逆否命题：若sinα≠sinβ，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；否定题：已知a，b，c，d都是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d；逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.17．(本小题满分14分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：x2－4x＋3＜0，x2－6x＋8＜0，且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．解：由x2－4x＋3＜0，x2－6x＋8＜0，6得1＜x＜3，2＜x＜4.即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵綈p⇒綈q，∴q⇒p.∴B⊆A.即2＜x＜3满足2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需有f(2)≤0，f(3)≤0，即8－18＋a≤0，18－27＋a≤0.∴a≤9.∴实数a的取值范围是{a|a≤9}．18．(本小题满分16分)设有两个命题：p：关于x的不等式x2＋2x－4－a≥0对一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函数y＝－|a|x在R上是减函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．解：∵不等式x2＋2x－4－a≥0对x∈R恒成立，∴x2＋2x－4≥a对x∈R恒成立，令y＝x2＋2x－4，∴ymin＝－5，∴a≤－5，∴命题p即为p：a≤－5，函数y＝－|a|x(a≠0，a≠±1)在R上是减函数，∴|a|1，∴a1或a－1，∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假，∴a≤－5，－1a1，或a－5，a1或a－1，∴－5a－1或a1.即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．19．(本小题满分16分)已知p：1－x－13≤2；q：x2－2x＋1≤m2(m0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：法一：由x2－2x＋1≤m2(m0)，得1－m≤x≤1＋m.∴綈q：A＝{x|x1－m或x1＋m，m0}．7由1－x－13≤2，得－2≤x≤10.∴綈p：B＝{x|x－2或x10}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，且m0，∴AB.∴m0，①1－m≤－2，②1＋m≥10.③解得m≥9.注意到当m≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴