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1课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1用“五点法”作简图1．用“五点法”作y＝sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B分别令2x＝0，π2，π，3π2，2π，可得x＝0，π4，π2，3π4，π.2．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点解析：选C由正弦函数y＝sinx在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确．3．函数y＝sin|x|的图象是()解析：选By＝sin|x|＝sinx，x≥0，－x，x＜0.作出y＝sin|x|的简图知选B.4．用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．解：列表：x0π2π3π22πsinx010－101＋2sinx131－112在直角坐标系中描出五点(0,1)，π2，3，(π，1)3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．题组2利用正、余弦函数的图象解不等式5．不等式cosx＜0，x∈[0,2π]的解集为()A.π2，3π2B.π2，3π2C.0，π2D.π2，2π解析：选A由y＝cosx的图象知，在[0,2π]内使cosx＜0的x的范围是π2，3π2.6．函数y＝2cosx－2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需2cosx－2≥0，即cosx≥22.由余弦函数图象知(如图)．所求定义域为－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z.答案：－π4＋2kπ，π4＋2kπ，k∈Z7．求函数y＝sinx－12＋cosx的定义域．解：由sinx－12≥0，cosx≥0，得π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z，2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.∴2kπ＋π6≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，即函数y＝sinx－12＋cosx的定义域为2kπ＋π6，2kπ＋π2(k∈Z)．题组3正、余弦曲线与其他曲线的交点问题38．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝32交点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C画出y＝32与y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．9．方程x＋sinx＝0的根有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．10．判断方程sinx＝x10的根的个数．解：因为当x＝3π时，y＝x10＝3π10＜1；当x＝4π时，y＝x10＝4π10＞1.所以直线y＝x10在y轴右侧与曲线y＝sinx有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0,0)，一共有7个交点．所以方程sinx＝x10有7个根．[能力提升综合练]1．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|解析：选C注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时sin|x|0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且只有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根4解析：选C在同一坐标系内画出函数y＝|x|与y＝cosx的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.3．函数y＝－xcosx的部分图象是()解析：选D∵y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C项；当x∈0，π2时，y＝－xcosx0，∴排除B项，故选D.4．在(0,2π)上使cosx＞sinx成立的x的取值范围是()A.0，π4∪5π4，2πB.π4，π2∪π，5π4C.π4，5π4D.－3π4，π4解析：选A以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cosx＞sinx.∵x∈(0,2π)，∴cosx＞sinx的x的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．5．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为____________．解析：作出函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为π2，4，3π2，4.答案：π2，4，3π2，46．函数f(x)＝sinx，x≥0x＋2，x0，则不等式f(x)12的解集是____________________．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝12的图象，如图所示．5当f(x)12时，函数f(x)的图象位于函数y＝12的图象的上方，此时－32x0或π6＋2kπx5π6＋2kπ(k∈N)．答案：x－32x0或π6＋2kπx5π6＋2kπ，k∈N7．方程sinx＝1－a2在x∈π3，π上有两个实数根，求a的取值范围．解：首先作出y＝sinx，x∈π3，π的图象，然后再作出y＝1－a2的图象，如果y＝sinx，x∈π3，π与y＝1－a2的图象有两个交点，方程sinx＝1－a2，x∈π3，π就有两个实数根．设y1＝sinx，x∈π3，π，y2＝1－a2.y1＝sinx，x∈π3，π的图象如图．由图象可知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a≤1－3时，y＝sinx，x∈π3，π的图象与y＝1－a2的图象有两个交点，即方程sinx＝1－a2在x∈π3，π上有两个实根．8．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y1；②y1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．解：列表如下：x－π－π20π2πsinx0－10101－2sinx131－11描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：6(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y1，在直线y＝1下方部分时y1，所以①当x∈(－π，0)时，y1；②当x∈(0，π)时，y1.(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1a3或－1a1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．7