2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第4节 三角函数的图象与性质（第3课时）正切函数的

1课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1正切函数的定义域、值域问题1．函数y＝log12tanx的定义域是()A.x|x≤π4＋kπ，k∈ZB.x|2kπ＜x≤2kπ＋π4，k∈ZC.x|kπ＜x≤kπ＋π4，k∈ZD.x|2kπ－π2＜x≤kπ＋π4，k∈Z解析：选C要使函数有意义，只需log12tanx≥0，即0＜tanx≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋π4，k∈Z.2．函数f(x)＝－2tanx＋m，x∈－π4，π3有零点，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝－2tanx＋m有零点，即方程2tanx＝m有解．∵x∈－π4，π3，∴tanx∈[－1，3]，∴m∈[－2,23]．答案：[－2,23]3．已知－π3≤x≤π4，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．解：∵－π3≤x≤π4，∴－3≤tanx≤1，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，当tanx＝－1即x＝－π4时，f(x)有最小值1，当tanx＝1即x＝π4时，f(x)有最大值5.题组2正切函数的单调性及应用4．已知A为锐角，且tanA＝23，那么下列判断正确的是()A．0°A30°B．30°A45°2C．45°A60°D．60°A90°解析：选B33231，即tan30°tanAtan45°.由正切函数随锐角的增大而增大，得30°A45°，故选B.5．已知函数y＝tan－12x＋π4，则它的单调递减区间是________________．解析：y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4.由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2x2kπ＋3π2，k∈Z，∴函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．答案：2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)6．已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y＝tanωx在－π2，π2内是单调减函数，则有ω＜0，且周期T≥π2－－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.答案：[－1,0)7．求函数y＝3tanπ6－x4的周期和单调区间．解：y＝3tanπ6－x4＝－3tanx4－π6，∴T＝πω＝π14＝4π.由kπ－π2＜x4－π6＜kπ＋π2(k∈Z)，得4kπ－4π3＜x＜4kπ＋8π3(k∈Z)．∵3tanx4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)上单调递增，3∴函数y＝3tanπ6－x4在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)上单调递减．题组3与正切函数有关的奇偶性、周期性问题8．下列函数中，同时满足：①在0，π2上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanx2D．y＝|sinx|解析：选A经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2π.9．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是()A．0B．1C．－1D.π4解析：选A由题意知T＝π4，由πω＝π4，得ω＝4，∴f(x)＝tan4x，∴fπ4＝tanπ＝0.10．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝()A．0B．－1C．－2D．3解析：选A设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.故选A.11．下列关于函数y＝tanx＋π3的说法正确的是()A．在区间－π6，5π6上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点π4，0成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称解析：选B令kπ－π2＜x＋π3＜kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－5π6＜x＜kπ＋π6，k∈Z，显然－π6，5π6不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；4令x＋π3＝kπ2，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tanx＋π3的图象也没有对称轴，故D错误．[能力提升综合练]1．函数f(x)＝sinx|cosx|在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的()解析：选C在－π2，π2上，cosx0，f(x)＝tanx，所以在－π2，π2上其图象与y＝tanx的图象相同，在－π，－π2和π2，π上，cosx0，f(x)＝－tanx，所以在这两段上其图象是y＝tanx的图象关于x轴的对称图形．2．与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交的一条直线是()A．x＝π2B．x＝－π2C．x＝π4D．x＝π8解析：选D当x＝π8时，2x＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x＝π8与函数的图象不相交．3．函数f(x)＝2tan3x＋π6＋1的图象的一个对称中心可以是()A.－π6，0B.－π18，0C.－π6，1D.－π18，1解析：选D令3x＋π6＝kπ2(k∈Z)，解得x＝kπ6－π18(k∈Z)，当k＝0时，x＝－π18，又∵f(x)＝2tan3x＋π6＋1的图象是由f(x)＝2tan3x＋π6的图象向上平移1个单位得到的，∴对称中心可以为－π18，1.故选D.4．已知函数f(x)＝2tanωx＋π4(ω0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于2π，则f－π2的值是()A．2B．0C．－1D．－35解析：选B由题意知函数f(x)的周期为2π，则πω＝2π，所以ω＝12，于是f(x)＝2tan12x＋π4，所以f－π2＝2tan12×－π2＋π4＝2tan0＝0，故选B.5．tan－13π7与tan－15π8的大小关系是____________．解析：tan－13π7＝tan2π－13π7＝tanπ7，tan－15π8＝tan2π－15π8＝tanπ8.∵0π8π7π2，∴tanπ8tanπ7，即tan－13π7tan－15π8.答案：tan－13π7tan－15π86．若直线x＝kπ2(|k|≤1)与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交，则k＝________.解析：直线x＝π2＋nπ，n∈Z与函数y＝tanx的图象不相交，由题意可知，2×kπ2＋π4＝π2＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋14，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝14或k＝－34.答案：14或－347．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y＝tanx＋|tanx|＝2tanx，tanx≥0，0，tanx＜0.其图象如图所示，6由图象可知，其定义域是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是kπ，kπ＋π2(k∈Z)；最小正周期T＝π.8．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f(x)＝x2－233x－1＝x－332－43，x∈[－1，3]．∴当x＝33时，f(x)取得最小值，为－43；当x＝－1时，f(x)取得最大值，为233.(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，3]上单调，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3.又θ∈－π2，π2，∴θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，π2.7