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-1-1.1平面直角坐标系与曲线方程1.设平行四边形ABCD的顶点为A(0,0),B(0,b),C(a,c),则第四个顶点D的坐标是()A.(a,b+c)B.(-a,b+c)C.(a,c-b)D.(-a,b-c)解析:设D(x,y),由题意,即(0,b)=(a-x,c-y),∴x=a,y=c-b.∴D的坐标为(a,c-b).答案:C2.若圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:依题意,设圆心的坐标为(a,-a),半径为r,则=r,∴a=1,r=.故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:B3.到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.圆D.直线或圆解析:以两定点A,B所在直线为x轴,以AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),则|PA|=k|PB|,显然当k=1时,点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线),当k≠1,且k≠0时,代入两点间距离公式化简可知P的轨迹为圆.答案:D4.平面内有一条固定线段AB,|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|OP|的最小值是()-2-A.B.C.2D.3解析:以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,则点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.2c=4,c=2,2a=3,∴a=.∴b2=c2-a2=4-.∴点P的轨迹方程为=1.由图可知,点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.答案:A5.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A.x2+y2=2B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x≠±2)D.x2+y2=4(x≠±2)解析:设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=42,即(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16.化简整理,得x2+y2=4,但M,N,P不共线,∴x≠±2.答案:D6.在平面直角坐标系中,O为原点,已知两点A(4,1),B(-1,3),若点C满足=m+n,其中m,n∈[0,1],且m+n=1,则点C轨迹方程为.解析:由题意知,A,B,C三点共线且C在线段AB上,点A,B所在的直线方程为2x+5y-13=0,且点C的轨迹为线段AB,所以,点C的轨迹方程为2x+5y-13=0,x∈[-1,4].答案:2x+5y-13=0(-1≤x≤4)7.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),△ABC的周长为10,则点A的轨迹方程为.解析:∵△ABC的周长为10,∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4,则有|AB|+|AC|=64,∴点A的轨迹为椭圆除去与直线BC相交的两点,且2a=6,2c=4,∴a=3,c=2,b2=5,-3-∴点A的轨迹方程为=1(y≠0).答案:=1(y≠0)8.在平面直角坐标系中,设点P(x,y),定义|OP|=|x|+|y|,其中O为坐标原点,对以下结论:①符合|OP|=1的点P的轨迹围成图形面积为2;②设P为直线x+2y-2=0上任意一点,则|OP|的最小值为1;③设P为直线y=kx+b(k,b∈R)上任意一点,则“使|OP|最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”.其中正确的结论有(填序号).解析:在①中,由于|OP|=1⇔其图象如图,故其面积为2×=2.故①正确.在②中,当P时,|OP|=|x|+|y|=1,∴|OP|最小值不为1.故②错误.在③中,∵|x|+|y|≥|x+y|=|(k+1)x+b|,当k=-1时,|x|+|y|≥|b|满足题意,即|x|+|y|≥|x-y|=|(k-1)x-b|,当k=1时,|x|+|y|≥|b|满足题意,故③正确.答案:①③-4-9.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽8m,一木船宽4m,高2m,载货后木船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?解:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0).∵A(4,-5)在抛物线上,∴42=-2p(-5),p=1.6.∴x2=-3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距hm时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB'的端点B的坐标为(2,y1),由22=-3.2y1,得y1=-,h=|y1|+=2(m),∴当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时,船开始不能通航.10.在△ABC中,底边BC=12,其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30,建立适当的坐标系,求此三角形重心G的轨迹方程.分析:先依据题中△ABC中底边BC的确定性建立适当的坐标系,再据“AB和AC上中线和为30”判断出G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆,最后根据椭圆方程的标准形式写出G的轨迹方程.解:以BC所在直线为x轴,BC边中点为原点,过原点且与BC垂直的直线为y轴,则B(6,0),C(-6,0),|BD|+|CE|=30,可知|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=2012=|BC|,故G的轨迹是椭圆,轨迹方程为=1(x≠±10).-5-